Dieter Gaier

Remarks on Alice Roth's Fusion Lemma

On etudie la proposition suivante: soient K 1 , K 2 des ensembles compacts dans C avec k=K 1 ∩K 2 ¬=0. On suppose que 2 fonctions rationnelles r 1 , r 2 sont donnees avec |r 1 (z)-r 2 (z)|≤1 pour zek. Alors il y a une fonction rationnelle r avec |r(z)-r 1 (z)|≤A (ZeK 1 et |r(z)-r 2 (z)|≤A, (zeK 2 ), ou A ne depend que de K 1 et K 2

Complex approximation on touching domains

In an earlier paper in this journal, Andnevskii [l] studied the following question. Let G and G be two disjoint domains “touching” at z = 0.let f(z) − z in G + and f(z)in G− . What is the error En of approximation of f by polynomials of degree ≦ n in G+ U G− ? We give a less technical and more constructive approach to this problem and generalize it to f(z) = z∞ in G− and f(z) = (−z)∞ in G− , and we admit more general types of touching domains.

On the behavior of capacity under conformal mapping

Assume that a compact set which lies in and which has capacity c is mapped by a function f schlicht in . Let EF be the image of E under F, and let cF be the capacity of EF. We investigate the dependence of cp on R for large R.

Approximation on Closed Sets

So far, we have approximated functions defined on a compact set K ⊂ ℂ, and the approximating functions were polynomials or rational functions. Now we shall approximate functions defined on a set F that is closed in a domain G. Functions analytic or meromorphic in G will serve as approximating functions. In the special case where G = ℂ, one obtains approximation by entire functions. Here the rate of approximation (as z → ∞) also plays a role. Several of these theorems can be used to construct analytic functions with complicated boundary behavior; we deal with these questions at the end of the chapter, in §5.

Approximation by Interpolation

Next to series expansion, interpolation represents a further important tool for the approximation of functions; we now turn to this method.

Approximation on Compact Sets

For the approximation of a function f on a compact set K polynomials or, more generally, rational functions can be utilized. The situation is simple if f is analytic on K, whereas a weakening of this assumption requires a much greater effort. We begin with Runge’s theorem; a weak version of it has already been proved, but the following proof will make Chapter III independent of the preceding chapters.

Representation of Complex Functions by Orthogonal Series and Faber Series

As is well known, one of the most important methods of representing functions defined on real or complex domains with the help of simpler functions is the method of series expansions. The theory of convergence for functions defined on complex domains, especially for analytic functions, is considerably simpler than for functions defined on real domains. Since we are generally interested in analytic functions, we shall mainly be concerned with series developments in the space L 2(G). The first four sections of this chapter are devoted to this topic. An important element in the space L 2(G) is the Bergman kernel function, which is useful for the construction of conformal mappings. We talk about the Bergman kernel function in Section 5. Finally, in Section 6, we present the expansion of functions in Faber polynomials in order to obtain certain theorems on the quality of approximation by polynomials.

Konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender Gebiete auf Normalgebiete

Verschiedene Aufgaben aus den Anwendungen fuhren auf das Problem, ein gegebenes n-fach zusammenhangendes Gebiet auf ein einfacheres Normalgebiet konform abzubilden. Besonders wichtig ist der Fall n = 2; das Problem des anfahrenden Tragflugels mit Berucksichtigung der Erdbodennahe, die Torsion eines hohlen Zylinders, oder die Ermittlung der Kapazitat eines zylindrischen Kondensators lassen sich auf diese Weise behandeln.

Das Verfahren von Theodorsen zur konformen Abbildung von ||< 1 auf ein Gebiet

Nun soll auch die konforme Abbildung von |z| < 1 auf ein vorgegebenes Gebiet durch eine Integralgleichungsmethode ermittelt werden. Ein solches Verfahren ist in den Jahren 1931 bis 1933 von Theodorsen und Garrick eingefuhrt worden und hat sich seither in zahllosen Beispielen der Aerodynamik, aber auch bei vielen mathematischen Experimenten bestens bewahrt. Es zeichnet sich, auch im Vergleich mit anderen Methoden, durch groste Einfachheit in Theorie und Praxis aus, und es durfte das theoretisch bestuntersuchte Verfahren der konformen Abbildung sein. Jedoch ist die Klasse der zugelassenen Gebiete eingeschrankt. Sie mussen bezuglich w = 0 sternig sein und uberdies „kreisnah“ in einem gewissen Sinne. Hierfur wurde das Verfahren ursprunglich auch vorwiegend eingesetzt.

Approximation konformer Abbildungen durch Polynome mit Extremaleigenschaften

Nachdem wir in den ersten beiden Kapiteln die konforme Abbildung eines Gebietes durch Reduktion auf eine Integralgleichung fur die Randerzuordnung ermittelt haben, stutzen wir uns jetzt auf eine Charakterisierung der konformen Abbildung durch ein Extremalproblem innerhalb einer Klasse analytischer Funktionen. Zu seiner Losung wird ein Ritzscher Polynomansatz gemacht, die konforme Abbildung also durch Polynome approximiert. Die theoretischen Grundlagen des Verfahrens und die Verwendung orthogonaler Polynome sind seit den Jahren um 1920 wohl bekannt. Da jedoch die numerischen Rechnungen umfangreicher sind als bei den Integralgleichungsverfahren, waren bis etwa 1955 numerische Experimente sparlich. Erst durch die elektronischen Rechenanlagen haben diese Methoden einige Bedeutung erlangt.