Dietmar Vogt

Dualitätstheorie lokalkonvexer Räume

Wie wir bereits gesehen haben, gibt es — anders als bei normierten Raumen — auf dem Dualraum E′ eines lokalkonvexen Raumes E i.a. keine ausgezeichnete Topologie. Wir untersuchen daher in diesem Abschnitt mogliche und sinnvolle lokalkonvexe Topologien auf E′. Dabei werden wir auch feststellen, das gewisse Begriffe in E nicht von der auf E gegebenen Topologie, sondern nur vom Dualraum E′ abhangen.

Metrische und topologische Räume

Um Funktionalanalysis treiben zu konnen, benotigt man die aus der Analysis-Vorlesung bekannten Begriffe „Stetigkeit“ und „Konvergenz“ in dem allgemeinen Rahmen der metrischen bzw. topologischen Raume. Die entsprechenden Begriffe, Bezeichnungen und Sachverhalte fuhren wir hier in Kurze ein. Dem Leser empfehlen wir, die einfachen Beweise auszufuhren, sofern er sie nicht schon kennt.

Bidual und Reflexivität

Ist E ein normierter Raum, so ist nicht nur sein Dualraum E′ von Interesse, sondern auch der Dualraum (E′)′ von E′. Man bezeichnet (E′)′ =: E″ als den Bidual von E. Mit E″ wollen wir uns nun beschaftigen.

Kompakte Operatoren in Hilberträumen

In diesem Abschnitt zeigen wir, das kompakte Operatoren zwischen Hilbertraumen eine gewisse Normaldarstellung besitzen. Diese erlaubt es, spezielle Klassen kompakter Operatoren einzufuhren. Von besonderem Interesse sind dabei die Hilbert-Schmidt Operatoren und die Operatoren der Spurklasse.

Unterräume und Quotienten von s

In diesem Abschnitt wollen wir den Splittingsatz aus Abschnitt 30 dazu verwenden, um die abgeschlossenen Unterraume, die Quotienten und die komplementaren Teilraume von s zu charakterisieren. Auserdem werden wir zeigen, das viele Frechetraume von C∞-Funktionen isomorph zu s sind.

Projektive und induktive Topologien

In diesem Abschnitt wollen wir aus gegebenen lokalkonvexen Raumen neue erzeugen. Dabei werden wir neue Begriffe und erste Anwendungen der Dualitatstheorie kennenlernen. Insbesondere werden wir die Satze vom abgeschlossenen Graphen und von der offenen Abbildung aus Abschnitt 8 verallgemeinern. Wir beginnen mit den beiden einfachsten Fallen, namlich dem Produkt und der direkten Summe lokalkonvexer Raume.

Die Banachräume Lp(X, μ) und C(X)′

In diesem Abschnitt verwenden wir die Bezeichnungen und Aussagen der Integrationstheorie aus der Darstellung in Anhang A. Sofern nichts anderes vereinbart wird, seien im weiteren X ein lokalkompakter, σ-kompakter, topologischer Raum und μ ein Mas auf X. Dabei betrachten wir μ einerseits als positives lineares Funktional auf C c (X, ℝ), andererseits als σ-additive Mengenfunktion auf der σ-Algebra, F aller μ-mesbaren Teilmengen von X (vgl. A.25 und A.26). Ferner bezeichnen wir mit M, M(X), L1 bzw. N alle K-wertigen Funktionen auf X, welche μ-mesbar, Borelmesbar, μ-integrierbar bzw. μ-Nullfunktionen sind.

Kurze exakte Sequenzen

In diesem Abschnitt untersuchen wir, inwieweit sich der Satz vom abgeschlossenen Wertebereich und seine Folgerungen auf Frechetraume ubertragen lassen. Diese Fragestellung ist im Hinblick auf die Dualitat von Unterraumen und Quotienten, aber auch fur viele Anwendungen in der Analysis von grosem Interesse. Wir beginnen mit einem nutzlichen Surjektivitatskriterium, welches Corollar 9.5 verallgemeinert.

Der Spektralsatz für normale Operatoren

In diesem Abschnitt bezeichne H stets einen nicht-trivialen komplexen Hilbertraum. Dann ist L(H) nach 17.15(4) eine C*-Algebra.. Wir konnen daher die Begriffe und Aussagen aus §18 auf L(H) anwenden. Insbesondere ist klar, was selbstadjungierte, normale und unitare Operatoren in L(H) sind. Ferner wissen wir nach 17.21, das es zu jedem normalen Operator A∈ L(H) einen isometrischen *-Homomorphismus