E. Reissner

ON ONE-DIMENSIONAL FINITE-STRAIN BEAM THEORY: THE PLANE PROBLEM

SummaryThe paper formulates a one-dimensional large-strain beam theory for plane deformations of plane beams, with rigorous consistency of dynamics and kinematics via application of the principle of virtual work. This formulation is complemented by considerations on how to obtain constitutive equations, and applied to the problem of buckling of circular rings, including the effects of axial normal strain and transverse shearing strain.ZusammenfassungDas Ziel dieser Arbeit ist eine eindimensionale Theorie mit endlichen Dehnungen und Schubformänderungen, für ebene Verformungen von ursprünglich ebenen Balken. Das wesentliche der Theorie ist die genaue Verträglichkeit der dynamischen und kinematischen Gleichungen, insoweit das Prinzip der virtuellen Arbeiten in Frage kommt. Die vorstehenden Entwicklungen sind vervollständigt durch Betrachtungen über das Problem der Aufstellung von Spannungs-Formänderungsbeziehungen und durch eine Anwendung auf das Knickproblem des Kreisringes einschliesslich des Einflusses von Axialdehnung und Schubverformung.

On finite deformations of space-curved beams

SummaryA recent generalization of Kirchhoffs equations for the analysis of spacecurved beams, in which account is taken of force-deformational effects in addition to the deformational effects of bending and twisting moments (Studies Appl. Math.52, 87–95, 1973), is re-derived more simply, including a new description of rotational displacement states, and including an application to the problem of helical deformations of originally helical beams.ZusammenfassungEine Verallgemeinerung der Kirchhoffschen Stabgleichungen, in welcher der Einfluß der Stabkräfte auf die Verformungen berücksichtigt wird, zusätzlich zu dem Einfluß der Biege- und Torsionsmomente (Studies Appl. Math.52, 87–95, 1973) wird neu und vereinfacht abgeleitet, einschließlich einer neuen Beschreibungsweise für rotationelle Verschiebungszustände, und einschließlich einer neuen Anwendung auf das Problem der schraubenförmigen Verformungen von ursprünglich schraubenförmigen Stäben.

Small bending and stretching of sandwich-type shells

A theory has been developed for small bending and stretching of sandwich-type shells. This theory is an extension of the known theory of homogeneous thin elastic shells. It was found that two effects are important in the present problem, which are not normally of importance in the theory of curved shells: (1) the effect of transverse shear deformation and (2) the effect of transverse normal stress deformation. The first of these two effects has been known to be of importance in the theory of plates and beams. The second effect was found to occur in a manner which is typical for shells and has no counterpart in flat-plate theory. The general results of this report have been applied to the solution of problems concerning flat plates, circular rings, circular cylindrical shells, and spherical shells. In each case numerical examples have been given, illustrating the magnitude of the effects of transverse shear and normal stress deformation.

On the theory of transverse bending of elastic plates

Abstract Departing from a self-contained two-dimensional formulation of the linear-theory problem of transverse bending of plates, three distinct topics are considered. The first of these concerns the integration problem for the case of orthotropy, specifically in regard to the factorization of a certain sixth-order master-equation. The second topic concerns the boundary layer aspects of contracted or reduced boundary conditions for the interior solution contribution for the case of isotropic plates. The analysis of this is based on a new form of the well-known general solution in terms of a deflection and a stress function variable, with this new form making it possible to distinguish between first- and second-order transverse shear deformation effects; the former being associated with the edge zone and the latter with the interior domain of the plate, with the shear correction terms for the interior being generalizations of the Timoshenko shear correction terms for beams. The third topic is a new system of contracted boundary conditions, both for the stress and for the displacement boundary value problem, in such a way that first-order transverse shear deformation effects are explicitly incorporated in the interior-domain solution contribution.

On finite pure bending of curved tubes

Abstract The present paper, in essence, owes its origin to a statement in the original manuscript of a paper by Boyle ‡ in which doubts were expressed concerning the recovery possibility of the results of finite-bending theory for straight tubes as a limiting case of the corresponding results for curved tubes. Although this statement does not occur in the final version of the manuscript, Boyles using a state of rotational displacement with two scalar components as against the evident possibility of needing just one such component,, and his treating the problem as a sixth order problem without regard to its possible reduction to one fourth order via use of two first integrals, suggested to the author that the following discussion (with the additional benefit of an opportunity of correcting an earlier oversight in Refs.[11, 12] would serve a useful purpose.

On a simple variational analysis of small finite deformations of prismatical beams

SummaryWe derive a seventh order system of one-dimensional equations for finite deformations of prismatical beams including the effect of warping stiffness. The analysis is patterned after the classical derivation of finite-deflection plate theory, supplemented by an explicit consideration of transverse shear deformation. A problem of axially uniform stretching and twisting is considered as an illustration.ZusammenfassungWir entwickeln ein System von Differentialgleichungen 7ter Ordnung für endliche Deformationen von prismatischen Balken, einschließlich des Einflusses der Wölbsteifigkeit. Die Ableitung besitzt eine Ähnlichkeit zur klassischen Ableitung der Plattentheorie mit endlichen Durchbiegungen, verallgemeinert durch eine explizite Betrachtung des Einflusses der Querschubverformungen. Ein Problem der axial gleichmäßigen Verkoppelung von Dehnung und Torsion wird als Anwendungsbeispiel betrachtet.

On lateral buckling of end-loaded cantilever beams

SummaryThe classical problem of lateral buckling of cantilever beams with transverse end load is reexamined, as an example of a problem fully governed by theintrinsic equations of Kirchhoffs curved beam theory. It is shown that asuitable non-dimensionalization of the differential equations of the problem leads to astraightforward perturbation solutions, with leading and second-order terms of the expansion having well-defined differences in physical significance. The equations of a recent extension of Kirchhoffs theory, which take account of transverse shear deformation, are used for the purpose of obtaining a numerical result for the influence of shear deformability on the lateral buckling load.ZusammenfassungDas klassische Problem der Kippstabilität des Kragträgers wird re-examiniert als Beispiel eines Problems, welches vollständig definiert werden kann mit Hilfe der intrinsischen Gleichungen der Kirchhoffschen Theorie gekrümmter Stäbe. Es wird gezeigt, dass eine spezielle Art die Gleichungen dimensionslos zu machen eine einfache Störungsrechnung ermöglicht, mit der die führenden sowohl als auch die eine Grössenordnung kleineren Glieder in der Reihenentwicklung eine wohldefinierte physikalische Bedeutung haben. Schliesslich werden die Gleichungen einer Erweiterung der Kirchhoffschen Theorie, die den Einfluss von Schubverformungen berücksichtigt, benutzt, um ein zahlenmässiges Resultat bezüglich des Einflusses der Schubverformung auf die Kipplast zu erhalten.

On a variational analysis of finite deformations of prismatical beams and on the effect of warping stiffness on buckling loads

SummaryAn earlier approximate consideration of the finite-deformation problem of prismatical beams is modified through the inclusion of non-linear displacement derivative terms in the expressions for transverse shearing strains. The general system of equations is specialized so as to describe the problems of lateral buckling of doubly symmetric cross section cantilever beams including warping stiffness effects. While the present results agree with the earlier results for the case of a combination of end bending moment and axial end force, this is not so for the case of a transverse end force. For this latter problem we now have the classical Timoshenko result as a special case, in contrast to what followed from the earlier consideration.ZusammenfassungEine frühere approximative Betrachtung des Problems der endlichen Formänderungen von prismatischen Balken wird abgeändert durch Einschluß von nichtlinearen Verschiebungsableitungsgliedern in den Ausdrücken für transverse Schubdehnungen. Das allgemeine Gleichungssystem wird spezialisiert auf das Problem der Kippstabilität eines Kragträgers mit doppelt symmetrischen Querschnitt, einschließlich des Effektes der Wölbsteifigkeit. Während die jetzigen Resultate mit den früheren übereinstimmen für den Fall einer Kombination von Endbiegemoment und Endaxialkraft, so ist dies nicht der Fall für die Endschubkraft. Für das letztere Problem haben wir jetzt das klassische Timoshenko Ergebnis als einen Spezialfall, im Gegensatz zu dem Ergebnis der vorhergehenden Betrachtung.

A note on the linear theory of shallow shear-deformable shells

The solution of the tenth order problem of two-dimensionally homogeneous isotropic shallow shear-deformable elastic shells is expressed in terms of three functions, one of them solution of a second order equation and two of them solutions of two simultaneous fourth order equations, in such a way that known results for shear-deformable plates and for non-sheardeformable shells appear directly as special cases.ZusammenfassungDie Lösung des Problems der zwei-dimensional isotropischen flachen elastischen Schale wird ausgedrückt durch drei Funktionen. Zwei von diesen sind Lösungen von zwei simultanen Gleichungen der vierten Ordnung und die dritte ist Lösung einer Gleichung der zweiten Ordnung. Das neue in diesem Resultat, welches schon einmal in 1969 in einer etwas anderen Art und in einem allgemeineren Zusammenhang gegeben wurde, besteht darin, daß in der neuen Fassung bekannte Ergebnisse für schubverformbare Platten und für nichtschubverformbare Schalen unmittelbar als spezielle Fälle erhalten werden.

A mixed variational equation for a twelfth-order theory of bending of nonhomogeneous transversely isotropic plates

Departing from a linear-theory statement of the three-dimensional problem of a surface and edge loaded transversely isotropic layer, with material properties which are even functions of the thickness coordinate, we use a variational statement of this problem, with independent displacement and transverse stress variations, for a direct-methods derivation of a corresponding twelfth-order two-dimensional statement, which is believed to be computationally beneficial relative to corresponding statements involving independent displacement variations only.