Ernst Ritter

Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion

Vorbemerkung.- Einleitung: Erstes Auftreten der hypergeometrischen Funktion: Reihe, Differentialgleichung, bestimmtes Integral.- Erster Abschnitt: Die hypergeometrische Reihe F(a, b c x).- Zweiter Abschnitt: Die hypergeometrische Differentialgleichung.- Dritter Abschnitt: Darstellung der hypergeometrischen Funktion durch bestimmte Integrale.- Vierter Abschnitt: Abschliessende Bemerkungen zu Riemanns Abhandlung aus dem Jahre 1857.- Erster Abschnitt: Differentialgleichung dritter Ordnung fur ?.- Zweiter Abschnitt: Ubersicht uber die spharische Trigonometrie.- Dritter Abschnitt: Der Fundamentalbereich der ?-Funktion.- Vierter Abschnitt: Einleitung.- Funfter Abschnitt: Genaueres Studium der Dreiecke.- Sechster Abschnitt: Funktionentheoretische Bedeutung der Figuren.- Siebenter Abschnitt: Analytische Fortsetzung der ?-Funktion.- Achter Abschnitt: Zuruckfuhrung auf niedere Funktionen (Erste Anwendung des Symmetrieprinzips).- Neunter Abschnitt: Zuruckfuhrung auf eindeutige Funktionen (Zweite Anwendung des Symmetrieprinzips).- Anmerkungen.

Der besondere Fall reeller Exponenten

Wir werden jetzt ausfuhrlicher den Fall reeller Exponenten λ, μ, v behandeln. Die unter dieser vereinfachenden Voraussetzung zu findenden Resultate werden vielfach von selbst nach dem Prinzip der analytischen Fortsetzung eine allgemeine Bedeutung auch fur komplexe Exponenten haben. Unsere Voraussetzung ist insbesondere gleichbedeutend damit, das die drei Schraubenachsen, welche den Substitutionen A,B,C entsprechen, sich in einem (im allgemeinen nicht auf der Kugel gelegenen) Punkte schneiden. (Dies folgt aus den auf S. 189 angegebenen Satzen.)

Funktionentheoretische Bedeutung der Figuren

Wir wenden uns jetzt dazu, die funktionentheoretische Bedeutung unserer Dreiecksfiguren zu besprechen; es wird dies ein schones Beispiel dafur sein, was man uberhaupt mit der geometrischen Behandlung funktionentheoretischer Probleme erreichen kann.

Zurückführung auf eindeutige Funktionen. (Zweite Anwendung des Symmetrieprinzips.)

Wir haben hiermit die Frage nach der Zuruckfuhrung der η-Funktion auf niedere Funktionen zu Ende gebracht.

Zurückführung auf niedere Funktionen (Erste Anwendung des Symmetrieprinzips.)

Wir beginnen heute mit dem Bericht uber die Reduktion der η-Funktion auf „niedere“ Funktionen; und zwar fragen wir zuerst, wann sich η als algebraische Funktion von x ergibt. Von den algebraischen Funktionen sind wieder die rationalen Funktionen die einfachsten.

Die hypergeometrische Differentialgleichung

Wie wir gesehen haben (S. 2), tritt die hypergeometrische Differentialgleichung bereits bei Euler sowie bei Gauss auf, dagegen zum Mittelpunkt der Betrachtung macht sie zuerst Kummer [1] in Bd. 15 des Crelleschen Journals (1836).

Von der Differentialgleichung dritter Ordnung für η

Was wir vor Weihnachten besprochen haben, konnen wir als die historische Grundlegung der Theorie der Riemannschen P-Funktion bezeichnen. In dem neuen Kapitel dagegen, welches wir jetzt in Angriff nehmen, werden wir ein neueres Moment zur Geltung zu bringen haben, indem wir namlich den Quotienten zweier Partikularlosungen der hypergeometrischen Differentialgleichung betrachten und die konforme Abbildung studieren, welche ein solcher Quotient \(\frac{{{y_1}\left( x \right)}}{{{y_2}\left( x \right)}}\), den wir kurz mit η (x) bezeichnen, von der x-Ebene entwirft.

Der allgemeine Ansatz

Was wir vor Weihnachten besprochen haben, konnen wir als die historische Grundlegung der Theorie der Riemannschen P-Funktion bezeichnen.

Der Fundamentalbereich der η-Funktion

In der x-Ebene besitzt die η-Funktion drei (verschiedene) singulare Punkte a, b, c. Um einen einzelnen Zweig der Funktion zu isolieren, wahlen wir irgendeinen ganz beliebigen (etwa von a, b, c verschiedenen) Punkt O der x-Ebene, und ziehen von ihm aus, wie in untenstehender Fig. 37, drei, vorlaufig ganz beliebig gestaltete, aber (von O abgesehen) vollig getrennt verlaufende „Einschnitte“ (etwa Streckenzuge) Oa, Ob, Oc nach den Punkten a, b, c, setzen fur diese Einschnitte einen Durchlaufungssinn derart fest, das O jeweils der Anfangspunkt ist, und bezeichnen die hierdurch definierten „rechten“ Ufer als negative (−), die „linken“ Ufer hingegen als positive (+). Wir behalten uns ubrigens vor, wenn es uns zweckmasig erscheint, den Punkt O in einen der drei singularen Punkte selbst rucken zu lassen; dabei sparen wir einen der drei Einschnitte ein, es geht dafur aber die Symmetrie der Betrachtung verloren, weswegen wir im allgemeinen den Punkt O von a, b, c verschieden wahlen. Die drei um O herum liegenden Winkelraume, welche von den Einschnitten Ob, Oc bzw. von Oc, Oa bzw. von Oa, Ob gebildet werden, sollen O′ bzw. O″ bzw. O‴ heisen.

Einleitung: Erstes Auftreten der hypergeometrischen Funktion: Reihe, Differentialgleichung, bestimmtes Integral

Im Mittelpunkt unserer Betrachtungen uber die hypergeometrische Funktion wird die Arbeit von Riemann stehen: „Beitrage zur Theorie der durch die Gausssche Reihe F (a, b; c; x) darstellbaren Funktionen.“ Abh. d. Kg1. Ges. d. W. z. Gott. Bd. 7, 1857 (= Riemann [1], S. 67ff.) [**].