Eugene J. Saletan

q‐Equivalent Particle Hamiltonians. I. The Classical One‐Dimensional Case

The classes of equivalent Lagrangians in one‐dimensional particle dynamics are found. These classes contain not only Lagrangians yielding the same equations of motion (Lagrangians differing by a total time derivative), but also those implying each others equations of motion. The corresponding classes of Hamiltonians, all of which give the same orbits in configuration space, but in general different orbits in phase space, are also found. Some specific examples are presented.

q-equivalent particle hamiltonians

SummaryAfouling transformation is an extension to phase space of the identity transformation on configuration space such that the canonical formalism is preserved. Under such a transformation the new Hamiltonian is no longer the energy. We demonstrate the existence of nontrivial linear fouling transformations for the isotropic two-dimensional oscillator, and study the transformation properties of the resulting Hamiltonian and Lagrangian functions.RiassuntoUna trasformazione bloccante è un’estensione allo spazio delle fasi della trasformazione identioa nello spazio delle configurazioni in modo tale che il formalismo oanonico è conservato. Con questa trasformazione il nuovo hamiltoniano non è più l’energia. Si dimostra l’esistenza di trasformazioni bloccanti lineari non banali per l’oscillatore bidimensionale isotropo e si studiano le proprietà di trasformazione dello funzioni hamiltoniane e lagrangiane risultanti.РезюмеПортящое преобразов ание является расширением на фазов ое пространство тожд ественного преобраз ования конфигурацио нного простра преобразования конф игурационного прост ранства, которое сохр аняет канонический ф ормализм. Когда прила гается такое преобра зование, функция Гами которое сохраняет ка нонический формализ м. Когда прилагается т акое преобразование, функция Гамильтона м еняется на новую, кото рая уже не является эн ергей. Показано, что су ществуют нетривияль ные л прилагается такое пр еобразование, функци я Гамильтона меняетс я на новую, которая уже не является энергей. П оказано, что существу ют нетривияльные лин ейные портящие преоб разования изотропич еского двухмерного о сциллятора, и изучают ся свойства преоб меняется на новую, кот орая уже не является э нергей. Показано, что с уществуют нетривиял ьные линейные портящ ие преобразования из отропического двухм ерного осциллятора, и изучаются свойства п реобразования новых функций Лагранжа и Га мильтона. Показано, что существ уют нетривияльные ли нейные портящие прео бразования изотропи ческого двухмерного осциллятора, и изучаю тся свойства преобра зования новых функци й Лагранжа и Гамильто на. портящие преобразов ания изотропическог о двухмерного осцилл ятора, и изучаются сво йства преобразовани я новых функций Лагра нжа и Гамильтона. двухмерного осцилля тора, и изучаются свой ства преобразования новых функций Лагран жа и Гамильтона. преобразования новы х функций Лагранжа и Г амильтона.

Liouville dynamics and Poisson brackets

We study divergenceless dynamical systems from a differential geometrical point of view. The analogy with Hamiltonian mechanics is pursued even as far as Poisson brackets. In particular, we study Nambu mechanics and its generalizations.

A general setting for reduction of dynamical systems

The reduction of dynamical systems is discussed in terms of projecting vector fields with respect to foliations of the manifold on which the dynamics take place. Examples of established reduction procedures are presented and are shown to be special cases of the general procedure described in this paper. Instances of other types of analysis of dynamical systems related to our projection procedure are briefly discussed.

On obtaining strictly invariant Lagrangians from gauge-invariant Lagrangians

SummaryWe consider Lagrangian dynamical systems on tangent bundles of differentiable manifolds whose Lagrangian functions are gauge invariant under the action of a Lie group on the base manifold. We then obtain necessary and sufficient conditions for finding a function on the base manifold whose time derivative, if added to the gauge-invariant Lagrangian, yields a strictly invariant one. The problem is transported from the tangent bundle also to the cotangent bundle.RiassuntoSi considerano sistemi dinamici sul fibrato tangente di una varietà differenziabile con lagrangiane gauge-invarianti sotto l’azione di un gruppo di Lie sullo spazio di base. Si ottengono condizioni necessarie e sufficienti per l’esistenza di una funzione sulla varietà di base la cui derivata temporale, aggiunta alla lagrangiana gauge-invariante, la rende strettamente invariante. Lo stesso problema è riformulato sul fibrato cotangente.РезюмеМы рассматриваем Лагранжевы динамические системы на тангенциальных семействах дифференцируемых множеств, Лагранжевы функции которых являются калибровочно инвариантными относительно действия группы Ли на основном множестве. Затем мы получаем необходимые и достаточные условия для определения функции на основном множестве, временная производная которой, при добавлении к калибровочно инвариантному Лагранжиану, дает явно инвариантный Лагранжиан. Обсуждается проблема перехода от тангенциального сешейства к котангенциальному семейству.

Elastic particle scattering from two hard disks

In a scattering problem where an incoming particle interacts elastically with more than one scatterer the trajectories that the particle can follow can be quite complex, even in two dimensions. In this paper the elastic scattering of a particle from a two‐disk system is solved explicitly. This is a nontrivial problem that can serve to introduce the concepts needed to understand more complex systems of three or more disks, which defy an explicit analytic treatment. Indeed, a target of more than two disks of equal radius leads to behavior that has recently been termed chaotic scattering.