F. Cornelius

Produkte und Coprodukte

Produkte und Coprodukte sind die kategoriellen Verallgemeinerungen von kartesischen Produkten und disjunkten Vereinigungen von Mengen. Wie schon bei Iso-, Mono- und Epimorphismen, den kategoriellen Entsprechungen von bijektiven, injektiven und surjektiven Abbildungen, konnen die kategoriellen Beschreibungen nur auf die ausere, durch die Morphismen gegebene Struktur der Objekte zuruckgreifen. Solche Charakterisierungen werden auch universelle Eigenschaften genannt.

Prädikatenlogische Formeln und Gültigkeit

Logische Sprachen sind, im Gegensatz zur nattirlichen Sprache, kunstliche Sprachen. Sie wurden entworfen und entwickelt. Als formale Rekonstruktion von Fragmenten der naturlichen Sprache dienen sie vor allem zwei Zwecken: der Erforschung der natiirlichen Sprache, deren Rekonstruktion sie sind, und der auf mathematisch wohlverstandene Ausdrucksmittel beschrankten formalen Beschreibung. In der Aussagenlogik stehen dabei Aussagenverknupfungen im Vordergrund. In der Pradikatenlogik kommen zusatzliche Ausdrucksmittel hinzu, die es erlauben, uber Gegenstande zu sprechen. Die Pradikatenlogik ist, so gesehen, eine Erweiterung der Aussagenlogik.

Kategorien in Mathematik und Informatik

Umgangssprachlich bedeutet Kategorie soviel wie Art, Sorte oder Klasse, und in diesem Sinne wird auch der mathematische Begriff der Kategorie verstanden. Wie in der Einleitung diskutiert, dient die Einordnung von mathematischen Gegenstanden in Kategorien dem strukturellen Vergleich dieser Gegenstande, und zwar sowohl im Bezug eines Objekts zu allen weiteren Objekten in der Kategorie als auch im Verhaltnis der gesamten Kategorie zu anderen Kategorien. Eine entscheidende Rolle spielen dabei die Morphismen, die die moglichen Beziehungen zwischen den Objekten einer Kategorie darstellen.

Signaturen und Algebren

Signaturen und Algebren sind die beiden zentralen Abschnitte dieses Kapitels nach der konzeptuellen Einleitung. Signatiuren bezeichnen das prinzipielle Format von Datenstrukturen, wahrend der Begriff der Algebra die formale Entsprechung zum Begriff der Datenstruktur ist.

Aussagenlogische Formeln und Gültigkeit

Logik war seit dem Altertum eine Disziplin der Philosophie. Ziel war es, Gesetzmaβigkeiten des Denkens zu finden und in schematischer Form zu beschreiben. Im Vordergrund standen dabei die Begriffe der Aussage und der Wahrheit, und das Interesse galt solchen Verbindungen von Aussagen, die unabhangig von jeder Interpretation wahr sind. Logik ist eng mit der Sprache verknupft, weil Aussagen in Sprache ausgedruckt werden und die Konzepte der Sprache die Mittel sind, mit denen allgemeingultige Wahrheiten in Aussagenverbindungen formuliert werden konnen.

Anwendungen auf Algebra und Logik

In den vorherigen Kapiteln haben wir algebraische und logische Konstruktionen als Beispiele fur kategorielle Begriffsbildungen kategoriell beschrieben. Die Syntax der Algebra last sich zusammenfassen zu einer Kategorie von Sortenstrings, Termen und Substitutionen (Term(Σ) bzw. Term(SP), Bsp. 22.2.8), die endliche Produkte hat (Satz 25.2.1). Die syntaktischen Kategorien der Aussagenlogik (Form(P), 22.2.9) haben endliche Produkte und Coprodukte sowie Exponenten (Beispiele 25.2.2, 25.4.2 und 27.4.2). In beiden Fallen konnen die Modelle, Algebren bzw. Wahrheitsbelegimgen als strukturbewahrende Funktoren von einer syntaktischen Kategorie in einen semantischen Bereich, d.h. einer Kategorie mit geeigneter Struktm, angesehen werden. Algebren sind Interpretationen der algebraischen Syntax in der Kategorie der Mengen und Abbildungen (Bsp. 24.2.5), Wahrheitsbelegungen sind Interpretationen der aussagenlogischen Syntax in der Kategorie der Wahrheitswerte T (wahr) imd F (falsch) mit der Folgerungsbeziehung F→T (Bsp. 24.2.6). Homomorphismen von Σ-Algebren werden unter dieser Entsprechung zu naturlichen Transformationen und ergeben jeweils Aquivalenzen zwischen Funktorkategorien und Kategorien von Algebren (Satz 26.3.2). Diese Aquivalenz last sich auf Wahrheitsbelegungen ubertragen und fuhrt so zu einem naturlichen Begriff von Morphismen bzw. Vergleichen von Wahrheitsbelegungen.

Funktoren und natürliche Transformationen

Hat man Kategorien definiert, stellt sich die Frage, was die Beziehungen zwischen Kategorien sind. Da Kategorien eine interne Struktur haben, gegeben durch Objekte, Morphismen, Komposition und Identitaten, lassen sich funktionale Beziehungen zwischen Kategorien durch Abbildungen herstellen, die diese Struktur bewahren. Wie Graph- und Σ-Homomorphismen sind Funktoren, die Morphismen zwischen Kategorien, definiert als Abbildungen der Objekte und Morphismen, die mit Komposition und Identitaten vertraglich sind. So lassen sich Kategorien von Kategorien konstruieren, sofern man die Grose der Objektkategorien geeignet beschrankt. (Eine Kategorie aller Kategorien ergibt ahnliche Schwierigkeiten wie eine Menge aller Mengen — siehe dazu auch Anm. 3.7.2.)

Folgerung und logische Äquivalenz

Folgerung und logische Aquivalenz sind Grundbegriffe der meisten Logiken. Vieles von dem, was wir in der Aussagenlogik zu diesen Begriffen gesehen haben, findet sich in ahnlicher Weise in der Pradikatenlogik wieder. Insbesondere gilt das fiir die elementaren Eigenschaften des Folgerungs- und des Aquivalenzbegriffs und fur die Zusammenhange, die zwischen beiden bestehen. Eine wortliche Ubertragung ist jedoch nicht immer moglich, da manche der Eigenschaften nur fur Satze gelten, fur Formeln mit freien Variablen aber nur mit Nebenbedingungen richtig sind. Wir definieren Folgerung und logische Aquivalenz in der Pradikatenlogik uber den Begriff der Modellklasse, der die Klasse aller Interpretationen erfast, bei denen eine Formel oder eine Formelmenge wahr ist. Mit diesem Begriff sind viele der Eigenschaften, die wir fur Folgerung und logische Aquivalenz studieren, leicht zu beweisen. Am Ende dieses Kapitels diskutieren wir den Begriff der Theorie, der nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Informatik von konzeptionellem Interesse ist.

Prädikatenlogische Hilbert-Kalküle

Ebenso wie die Aussagenlogik besitzt auch die Pradikatenlogik erster Stufe korrekte und vollstandige Kalkule fur das Beweisen von Folgerungen. Der grundsatzliche Bau pradikatenlogischer Kalkule ist dabei nicht anders als der aussagenlogischer Kalkule. Dies gilt fur Hilbert-Kalkule, SequenzenKalkule und das Resolutionsverfahren in gleicher Weise. Die grosere Ausdruckskraft der Pradikatenlogik verlangt allerdings auch die Hinzunahme neuer Regeln, insbesondere urn Gleichheit, Quantoren sowie Substitution und Umbenennung zu erfassen. Im Zentrum dieses Kapitels steht ein Hilbert-Kalkul fur die Pradikatenlogik, der korrekt und vollstandig ist. Er ist, in einem gewissen Sinne, eine Erweiterung des aussagenlogischen Hilbert-Kalkuls aus Kap. 16. Auf einen korrekten und vollstandigen Sequenzenkalkul fur die Pradikatenlogik gehen wir hier nur kurz ein, Fur das pradikatenlogische Resolutionsverfahren, das Grundlage der logischen Programmierung ist, verweisen wir auf die einschlagige Literatur.

Substitution und Umbenennung

Die formale Manipulation von Formeln durch Substitution und Umbenennung spielt in der Aussagenlogik keine besondere Rolle. In der Pradikatenlogik dagegen sind Substitutionen und Umbenennungen unumgangliche Bestandteile der Kalkule, so das sie nicht nur nur eine technische Bedeutung haben. Bei der Substitution werden in Formeln Variablen durch Terme ersetzt. Auch wenn die Ersetzung selbst einfach und auserst natiirlich ist, so ist sie im Hinblick auf die Gultigkeit einer Formel doch mit Schwierigkeiten behaftet, die eine genauere Betrachtung erfordern. Urn sicherzustellen, das durch die Substitution eine Folgerung entsteht, mussen Nebenbedingungen zum Auftreten von Variablen formuliert werden. Sind bei der Substitution einer Formel solche Nebenbedingungen nicht erfullt, konnen diese durch die Umbenennung von Variablen erftillt werden, wobei wiederum gewisse Voraussetzungen zu berucksichtigen sind.