François Bruhat

Groupes réductifs sur un corps local : I. Données radicielles valuées

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Groupes algébriques simples sur un corps local

La theorie generale des groupes algebriques semi-simples sur un corps K quelconque (racines, groupe de Weyl, sous-groupes paraboliques, BN-paire associee a un sous-groupe parabolique minimal, etc) est maintenant bien connue (cf. [2] et [12]). Notre but est d’exposer une theorie analogue lorsque K est un corps local de corps residuel k. Un groupe algebrique simple simplement connexe G defini sur K apparait alors comme une sorte de «groupe algebrique de dimension infinie» sur le corps residuel, plus precisement comme une limite inductive de limites projectives de varietes algebriques sur k. En particulier, on obtient dans G K une BN-paire (B, N) de groupe de Weyl en general infini (isomorphe au groupe de Weyl affiine d’un systeme de racines), qui est caracterisee (lorsque G n’est pas anisotrope sur K) par la propriete suivante: un sous-groupe de G K est borne (au sens de la valuation de K) si et seulement si il est contenu dans la reunion d’un nombre fini de doubles classes modulo B. Ceci permet la classification (a automorphismes interieurs pres) des sousgroupes bornes maximaux (c’est-a-dire des sous-groupes compacts maximaux lorsque K est localement compact) de G K : on trouve qu’il y en a exactement l+1 classes, ou l est le rang relatif de G sur K.

Sur Une Classe De Sous-Groupes Compacts Maximaux des Groupes de Chevalley sur un Corps ρAdique

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