Franz Pittnauer

Eine Methode zur Bestimmung günstiger Konvergenzfaktoren für asymptotische Entwicklungen

ZusammenfassungWir befassen uns mit der numerischen Lösung einer Differentialgleichung, bei der eine asymptotische Potenzreihe zur Verfügung steht. Besonders interessieren wir uns für Argumente aus dem kritischen Bereich. Dabei tritt das Problem der Bestimmung günstiger Konvergenzfaktoren auf.Es wird für den Formelfehler in Abhängigkeit von den verwendeten Konvergenzfaktoren eine recht genaue Abschätzung sowohl nach oben wie auch nach unten angegeben. Zur Herleitung der Fehlerschranken wird die Theorie der singulärenVolterraschen Integralgleichungen benützt. Die Minimierung der Fehlerschranken liefert dann sehr günstige Konvergenzfaktoren, bei denen der zugehörige Fehler nur wenig über dem Fehler der theoretisch optimalen Lösung liegt. Ferner ergeben sich Aussagen über die Konvergenzgeschwindigkeit der Approximationsfolge. Ein Beispiel zeigt die Wirksamkeit des Verfahrens.SummaryWe are concerned with the numerical solution of a differential equation which possesses an asymptotic power series. Especially we are interested in arguments from the critical domain. This leads us to the determination of nearly-optimal converging factors.Using the theory of singularVolterra integral equations we obtain for the remainder terms as functions of the converging factors rather good lower and upper bounds.Minimizing these bounds we gain nearly-optimal converging factors, with an error only little greater than the error of the exact optimal converging factors. Moreover we give an estimate of the rapidity of convergence of the approximation sequence. An example shows the effectiveness of our method.

Eine Bemerkung über das Minimalglied asymptotischer Potenzreihen

ZusammenfassungWir charakterisieren diejenigen asymptotischen Potenzreihen, welche ein Minimalglied besitzen. Weiter leiten wir mit Hilfe eines Satzes vonWiman obere und untere Schranken für dasselbe her. Dem hier beschriebenen Typ gehören die asymptotischen Reihen vieler spezieller Funktionen an.SummaryWe characterize the asymptotic power series having a term of least modulus. Using a theorem ofWiman we give upper and lower bounds for it. The asymptotic series of many special functions are of the type described here.

Über asymptotische Erzeugende rekursiv definierter Funktionen

Will man einer beliebigen Folge reeller Funktionen eine erzeugende Funktion zuordnen, so wird die entsprechende Funktionenreihe im allgemeinen nicht konvergieren. In diesem Fall kann man die Konvergenz der Reihe durch die Verwendung von Gewichten erzwingen, oder man mul3 sich auf lediglich formale Operationen mit der erzeugenden Funktion beschr/inken. Wir beschaftigen uns im folgenden mit der Aufgabe, einer beliebigen Folge reeller Funktionen eine sogenannte asymptotische erzeugende Funktion zuzuordnen. D.h. wir suchen Funktionen, die asymptotische Potenzreihen besitzen und deren Koeffizienten gerade die vorgegebenen Funktionen sind. Unter Riickgriff auf den Satz von RITT aus der Theorie der asymptotischen Potenzreihen zeigen wir, dab dies stets m6glich ist. Durch die Verwendung asymptotisch erzeugender Funktionen umgehen wir das Konvergenzproblem, ohne auf formale Rechnung angewiesen zu sein (vgl. BELL [1]). Dariiberhinaus lassen die analytischen Eigenschaften der asymptotisch erzeugenden Funktionen auch funktionentheoretische Gesichtspunkte in angemessener Weise zur Geltung kommen. Ein Beispiel einer asymptotisch erzeugenden Funktion hat KAPTEYN [4-1 bereits 1905 bei der Behandlung der NEUMANN-PoIynome angegeben. Das von uns vorgestellte Konstruktionsverfahren f(ir asymptotisch erzeugende Funktionen l/il3t sich in vielen Fallen betr~ichtlich vereinfachen. Ein derartiger Fall liegt vor, wenn sich die Folge der Funktionen (1) aus einer fiinfgliedrigen Rekursionsformel (6) bestimmen l/il3t. In naheliegenden Sonderfallen reduziert sich (6) auf spezielle

Entire functions whose derivatives satisfy linear relations at given points (Ganze Funktionen mit linearen Beziehungen sämtlicher Ableitungen in festen Punkten)

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