Friedhelm Waldhausen

Gruppen mit Zentrum und 3-dimensionale Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung S ei M eine orientierbare kompakte 3-Mannigfaltigkeit. Ist M homoomorph zu einem Seifertschen Faserraum mit orientierbarer Zerlegungsflache, dann besitzt Π1(M) ein nichttriviales Zentrum (sofern nicht Π1(M) selbst trivial ist). Wir zeigen, daβ hiervon auch die Umkehrung gilt, (4.1)—unter folgenden zusatzlichen Voraussetzungen: (1) M ist irreduzibel; (2) Es ist entweder H1(M) nicht endlich oder Π1(M) ein nichttriviales freies Produkt mit Amalgamation (oder beides). Mit der Voraussetzung (1) umgehen wir in der ublichen Weise die Poincaresche Vermutung. Die Voraussetzung (2) ist vermutlich ebenfalls uberflussig; sie ist fur eine irreduzible Mannigfaltigkeit aquivalent zu der Bedingung, daβ es in M eine Flache F gebe, F∩∂M=∂F, die keine 2-Sphare ist, nicht rand-parallel, und fur die ker (Π1(F)→Π1(M))=0, (1.2). Sobald man diese Flache F hat, verlauft der Beweis von (4.1) nicht viel anders als der des entsprechenden Resultats fur Knoten, [1]; andererseits beruht aber unser Beweis wesentlich auf der Existenz einer solchen Flache, er laβt sich also sicher nicht auf irreduzible Mannigfaltigkeiten ubertragen, in denen es keine solche Flache gibt.— In §2 zeigen wir an einem Beispiel, daβ eine in diesem Sinne “zu einfache” Mannigfaltigkeit nicht notwendig eine endliche Fundamentalgruppe haben muβ. Die Fundamentalgruppe der angegebenen Mannigfaltigkeit enthalt sogar eine Torusgruppe als Untergruppe; dies Beispiel zeigt daher auch, daβ es eine Verallgemeinerung des Spharensatzes auf geschlossene Flachen positiven Geschlechts nicht gibt.

MacLane homology and topological Hochschild homology

The topological Hochschild homology of a discrete ring is shown to agree with the MacLane homology of that ring.

Über involutionen der 3-sphäre

Abstract WIR ZEIGEN: Sei M die 3-Sphare, und sei h: M → M eine orientierungserhaltende simpliziale Abbildung der Periode 2. Dann ist h konjugiert zu einer orthogonalen Abbildung.

The Fundamental Theorem for the Algebraic K-Theory of Spaces I

Abstract Let X ↦ A ( X ) denote the algebraic K -theory of spaces functor. The main objective of this paper is to show that A ( X × S 1 ) admits a functorial splitting. The splitting has four factors: a copy of A ( X ), a delooped copy of A ( X ) and two homeomorphic nil terms . One should view the decomposition as the algebraic K -theory of spaces version of the Bass-Heller-Swan theorem. In deducing this splitting, we introduce a new tool: a “non-linear” analogue of the projective line.Elsevier Science B.V.

Spaces of PL Manifolds and Categories of Simple Maps (AM-186)

Introduction 1 1.The stable parametrized h-cobordism theorem 7 1.1. The manifold part 7 1.2. The non-manifold part 13 1.3. Algebraic K-theory of spaces 15 1.4. Relation to other literature 20 2.On simple maps 29 2.1. Simple maps of simplicial sets 29 2.2. Normal subdivision of simplicial sets 34 2.3. Geometric realization and subdivision 42 2.4. The reduced mapping cylinder 56 2.5. Making simplicial sets non-singular 68 2.6. The approximate lifting property 74 2.7. Subdivision of simplicial sets over DELTAq 83 3.The non-manifold part 99 3.1. Categories of simple maps 99 3.2. Filling horns 108 3.3. Some homotopy fiber sequences 119 3.4. Polyhedral realization 126 3.5. Turning Serre fibrations into bundles 131 3.6. Quillens Theorems A and B 134 4.The manifold part 139 4.1. Spaces of PL manifolds 139 4.2. Spaces of thickenings 150 4.3. Straightening the thickenings 155 Bibliography 175 Symbols 179 Index 181

An un-delooped version of algebraic K-theory

Problems working with the Segal operations in algebraic K-theory of spaces—constructed by F. Waldhausen (1982)—arose from the absence of a nice groupcompletion on the category level. H. Grayson and D. Gillet (1987) introduced a combinatorial model G. for K-theory of exact categories. For dealing with K-theory of spaces we need an extension wG. of their result to the context of categories with cofibrations and weak equivalences. Our main result is that in the presence of a suspension functor—as in the case of retractive spaces—the wG. construction on the category of prespectra is an un-delooped version of the K-theory of the original category. In a sequel to this paper we show that Graysons formula (1988) for Segal operations works as intended.

MacLane homology and topological Hochschild homology.

The aim of this paper is to show that the topological Hochschild homology of a discrete ring R in the sense of [2] and the MacLane homology of R (see [lo] or [S]) are isomorphic. The method is to show that they are both isomorphic to a certain kind of homology of the category of finitely generated projective Rmodules with coefficients in the bifunctor Horn. That the latter agrees with MacLane homology, was shown in [8]; and that it agrees with topological Hochschild homology, is the main result of this paper. In the (appended) last section we describe a related spectral sequence.