Fritz Bopp

Über die Möglichkeit von Spinmodellen

Abstract Es wird gezeigt, daß sich die Zustände des Spins in völliger Analogie zu denen anderer quantenmechanischer Größen durch stetige Eigenfunktionen gewisser Differentialoperatoren beschreiben lassen. Während die Kugelfunktionen mit halbzahligem Index hierfür bekanntlich wegen ihrer Transformationseigenschaften nicht in Frage kommen, besitzt bereits der Schrödingersche Drehimpulsoperator des Zweikörperproblems (echte) Eigenfunktionen zu halbzahli-gen Eigenwerten. Das Modell von Goudsmit-Uhlenbeck und das feldmechanische Modell des Spins werden unter diesem neuen Gesichtspunkt diskutiert.

Quantentheorie der Feldmechanik

Abstract Die früher abgeleiteten Bewegungsgleichungen der Feldmechanik werden - zunächst ohne Berücksichtigung der Strahlungskraft - nach dem Retardierungsparameter entwickelt, und zwar einen Schritt weiter als in der Lorentzsehen Theorie des Elektrons. Die resultierenden Bewegungsgleichungen enthalten neue Freiheitsgrade, die eine Zitterbewegung beschreiben und bereits im klassischen Bereich zu spinartigen Drehimpulszusätzen Anlaß geben. Der formale Ubergang zur Quantenmechanik macht keine Schwierigkeit und führt zu einer Wellengleichung vom Dirac sehen Typ allerdings derart, daß zunächst nur Lösungen mit ganzzahligem Spin möglich sind und daß im allgemeinen eine starke Kopplung besteht zwischen Lösungen, die zu verschiedenem Spin gehören. Der Spezialfall des kräfte- und impulsfreien Teilchens wird besonders untersucht. Die Wellengleichung vereinfacht sich, wird aber keineswegs trivial. Ihre Eigenlösungen geben Zustände des Elementarteilchens, die zu verschiedenen Massen- und Spinwerten gehören, fassen also prinzipiell die Gesamtheit der Elementarteilchen in einer Wellengleichung zusammen. Quantitativ sind die Ergebnisse in der vorliegenden Näherung noch unbefriedigend. Die Art der Abweichung von den wirklichen Verhältnissen liegt nach früheren Untersuchungen an der Näherung und ist von vornherein zu erwarten.

Eine Welt im Werden

If μ equals the average value of the cosmical density of matter, and if G equals Newtons gravitational constant, the length R = c/√Gμ nearly yields the radius of the world. Therefore it should not be necessary to introduce a second radius K of the same kind as in Einsteins or Friedmans line element ds2 = - gμν( x / K ) dχμ dχν. For this reason, we apply Einsteins field equations on the line element ds2 = dt2 - ∫ (ϱ)2 dr2, ϱ = r/t, c = 1, and obtain a world which is steadily coming to be. The Big-Bang-world is replaced by an expanding one whose mass M is steadily growing according to dM/dt ~ c3/G. It should be taken into account that less assumptions are necessary for a general relativistic world which is coming to be.

Sein oder Nichtsein als Grundfrage der Quantenphysik / To he or not to be as basic question in quantum physics

The question is often asked how to interprete quantum physics. That question does not arise in classical physics, since Newtons axioms are immediately connected with basic ideas and experiences. The same is possible in quantum physics, if we remember how elementary particle physicists describe their experiments. As Helmholtz has pointed out. the basic assumption of classical physics is that of geneidentity. That means: Bodies remain the same during their motion. Obviously, that is no longer true in quantum physics. Particles can be created and annihilated. Therefore creation and annihilation must be considered as basic processes. Motion only occurs, if a particle is annihilated in a certain point, if an equal one is created in an infinitesimally neighbouring point, and if this process is continuously going on during a certain time. Motions of that kind are compatible with the existence of some manifest creation and annihilation processes. If we accept this idea, quantum physics can be derived from first principles. As in classical physics, we know therefore what happens from the very beginning. Thus questions of interpretation become dispensable. A particular mathematical method is used to exhaust continua. The theory is formulated in a finite lattice, whose point density and extension equally go to infinity. All calculations are therefore performed in a finite dimensional Hilbert space. The results are however related to an infinite dimensional one. Earlier calculations may, therefore, be essentially correct, though they must be rejected in theories which are based on manifestly infinite dimensional Hilbert spaces. Here limiting processes do not occur in the state space. They are only admissible for numerical results.

Quantenphysikalischer Zustandsraum im Kontinuum / Quantum physical state space in continua

Abstract As previously shown, quantum physics for single pairs of creation and annihilation processes may be derived from first principles. Quantum physics at all can be therefore considered as an interplay of such elementary processes. This is easily possible if the number of pairs of processes is finite. Difficulties arise only for infinite numbers. The difficulties are similar to those occurring in the derivation of the equation for an oscillating string from that for an oscillator chain. It is true that the spectra of both systems are not continuously connected. However, a weaker theorem is more important: The chain eigenvalue of each order converges to the string one of the same order for an infinitely growing number of oscillators of a certain kind. Therefore both systems are continuously connected in the sense of semiconvergency. Exhausting the space continuum with a sequence of lattices equably becomming infinitely large and fine, the infinitely dimensional Hilbertspace is steadily connected with the finitely dimensional one in the sense of semiconvergency. It will be shown that the Hilbert spaces in the sequence of lattices yield the suitable tool for quantum physics as an interplay in the mentioned sense. This kind of Hilbert space, the so-called rational one, must be preferred in physics rather than the real one introduced by Hilbert, since all theories in physics are based on a finite number of data. In particular, we formulate Diracs equation in the rational Hilbert space. It is shown that, even in quantum physics, a theorem of classical physics remains true, according to which relativity results from certain principles formulating most obvious experiences. We obtain the Lorentz invariant Dirac equation mainly from a modification of Newtons definition II according to which p = Hυ/c2 (instead of p = m υ).

Quarks im Lichte einer Idee von Pais

Abstract A wave equation of a kind proposed by Pais in 1953 describes a particle with an infinite sequence of quantum states, which belong to the symmetrical representations (λ, 0) of the group SU 3. Particles composed of such single ones are connected with the whole set of representations (λ, μ) of SU 3. The wave equation is compatible with an exclusion principle. Assuming that only particles with zero triality occur, all quarks and quarklike particles are excluded. Neither coulours, nor bags are needed, as we do not need repulsive forces to exclude Li-atoms with symmetrical wave functions.

Particles and Antiparticles According to Covariant Schrödinger Equations

Abstract We introduce manifestly covariant Schrödinger equations. This has the advantage that the energies of particles are always positive. Charges of particles and antiparticles have opposite signs. The physical vacuum equals the formal one. - All that occurs because manifestly covariant Schrödinger equations yield pairs of operators which differ only in some signs of eigenvalues: (i) The number of particles and the charge, (ii) the space-time wave vector and the space time momenta, (iii) the kinematical and the dynamical angular momenta.

The Electron and the Muon as Eigensolutions of the Quantum Electromechanics under the Green-Function δ (x2 + l2)

Abstract Replacing the Green function of Maxwells electrodynamics δ(x2) by δ(x2 + l2) we obtain a Hamiltonian with a finite number of degrees of freedom for the classical motion of a pointcharge in its own electromagnetic field. After quantization we obtain a mass spectrum if we assume that a nonelectrodynamic bare mass M exists. The spectral terms are S1/2 , P1/2; P3/2 , D3/2; D5/2 etc. (k = +1, -1; +2, -2; +3 ...). It is possible to fit the length l in the Green function and the mass M so that the mass ratio of the lowest terms becomes m (P1/2)/m(S1/2) = mμ/me . We then get: l =4,896 · 10-91 ħ/mp c, M = 15,32mp . Hence the deviation from Maxwells electrodynamic is extremely small, but not zero, and heavy leptons should exist near m = | M | . Some further leptonic states exist with masses similar to that of the muon. All states, those of the electron and the muon excepted, are γ-instable (life time 10-17 sec. resp. 10-26 sec.).

Würfel-Brettspiele, deren Steine sich näherungsweise quantenmechanisch bewegen

In früheren Arbeiten haben wir die Schrödinger-Gleichung in stochastischer Form dargestellt, d. h. als lineare Differentialgleichung in der Zeit für Wahrscheinlichkeiten1. Hier wollen wir sie mit gewöhnlichen stochastischen Gleichungen vergleichen. Zunächst bestätigt sich das wohlbekannte Ergebnis, daß man beide nicht identifizieren kann2. Denn nach den quantenmechanischen stochastischen Gleichungen verhalten sich Gesamtheiten wie ungedämpfte gekoppelte Oszillatoren und nach den gewöhnlichen stochastischen Gleichungen im besten Falle wie gedämpfte. Es gibt wahrscheinlich auch keine gewöhnlichen stochastischen Gleichungen, die die quantenmechanischen gleichmäßig gut approximieren. Doch wird gezeigt, daß man gewöhnliche stochastische Gleichungen angeben kann, die mit den quantenmechanischen in jedem experimentell geprüften Bereich beliebig gut übereinstimmen, weil in diesem die Relaxationszeiten so groß gegen die Schwingungsdauern sein können, daß man von der Dämpfung absehen darf.

Quantenmechanische und stochastische Prozesse

Es wird gezeigt, daß es zu jedem quantenmechanischen Prozeß einen gewöhnlichen stochastischen Prozeß gibt, der zwar nicht mit jenem identisch ist, der sich aber von ihm in allen experimentell erreichbaren Bereichen nur unmerklich unterscheidet. Es ist also praktisch nicht möglich, experimentell zwischen einem in Strenge Quantengesetzen folgenden Prozeß und dem zugeordneten stochastischen Prozeß zu unterscheiden.