Georg Pólya

Verschiedene Arten der Gleichverteilung

Wir betrachten im folgenden (147–161) monotone Folgen positiver Zahlen. Unter der Anzahlfunktion N(r) einer solchen Folge verstehen wir die Anzahl derjenigen r n , die r nicht ubersteigen, r ≧ 0. In Zeichen

Geometrisches über die Nullstellen von Polynomen

N(r) = \sum\limits_{{r_n} \leqq r} 1

Das Integral als Grenzwert von Rechtecksummen

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Komplexe Zahlen und Zahlenfolgen

Wenn jedem Wert von z innerhalb eines gewissen Bereiches B der z-Ebene nach einem bestimmten Gesetze ein komplexer Zahlenwert w zugeordnet ist, so heist w eine Funktion von z. Es sind zwei geometrische Darstellungen des funktionalen Zusammenhanges besonders nutzlich. Die eine benutzt eine Ebene, die andere zwei Ebenen. Man kann sich den, dem Punkt z zugeordneten Wert w (oder wenn zweckmasiger, w) als Vektor, der in dem Punkt z wirkt, vorstellen; auf diese Weise wird in dem Bereiche B ein Vektorfeld definiert. In einer anderen Darstellung fast man den Wert w, welcher dem in der z-Ebene gelegenen Punkt z zugeordnet ist, als Punkt einer anderen komplexen Zahlenebene (w -Ebene) auf; auf diese Weise wird eine Abbildung des Bereiches B auf gewisse Punkte der w-Ebene definiert.

Die Struktur reeller Folgen und Reihen

Es seien z 1, z 2, ..., z n beliebige, im Endlichen gelegene Punkte der komplexen Zahlenebene und m 1, m 2, ..., m n nichtnegative Massen mit der Summe 1, die bzw. in z 1 , z 2, ..., z n angebracht sind. Der Schwerpunkt ζ dieser Massenbelegung wird durch jede lineare Transformation der komplexen Ebene, die den unendlich fernen Punkt in sich uberfuhrt, mittransformiert. D. h.: wird in dem Bild z v ′ von z v wieder die Masse m v konzentriert, so ist der Schwerpunkt ζ′ dieser neuen Massenbelegung identisch mit dem Bild von ζ.

Geometrisches über den Funktionenverlauf

Es seien p 1, p 2,..., p l, a 1, a 2,..., a l beliebige positive Zahlen. Dann existiert der Grenzwert und ist gleich der grosten unter den Zahlen a 1, a 2,..., a l .

Rechnen mit Potenzreihen

Es sei f(x) eine beschrankte Funktion im endlichen Intervalle a≦x≦b. Dieses Intervall sei durch die Zwischenpunkte x 0, x 1, x 2,..., x n-1, x n , wobei ist, in Teilintervalle geteilt; m v bzw. M v bezeichne die untere, bzw. die obere Grenze von f(x) im v ten Teilintervalle x v-1≦x≦x v , v =1,2, ..., n. Dann heist welche zu der Einteilung x 0, x 1, x 2, ..., x n−1, x n gehort. Eine Obersumme ist stets groser (nicht kleiner) als eine zu irgendeiner Einteilung gehorige Untersumme. Wenn es nur eine Zahl gibt, die von keiner Untersumme ubertroffen und von keiner Obersumme unterschritten wird, so heist diese das bestimmte Integral von f(x) im Intervalle a, b, und die Funktion f(x) heist im Riemannschen Sinne (eigentlich) integrabel im Intervalle a, b.

Ganzzahlige Polynome und ganzwertige Funktionen

Die komplexe Variable z sei in der Form z, = x, + iy, = r e iϑ (x, y, r, ϑ reell, r≧0, ϑ mod. 2ϐ genommen) geschrieben. Dann heist x = Jz der Realteil von z, y = | z | der Imaginarteil von z, r = I z der absolute Betrag von z, ϑ = arcz der Arcus von z.