Georg Vossen

Matrizen und lineare Gleichungssysteme

Wir haben in Kap. 11 bereits gesehen, dass das Studium von Beziehungen von Vektoren in der Regel zu einem System von Gleichungen fuhrt. Solche Systeme von linearen Gleichungen treten auch in vielen anderen Bereichen der Mathematik und der Naturwissenschaften auf. Daher werden wir in diesem Kapitel lineare Gleichungssysteme und ihre Eigenschaften studieren und mithilfe von Matrizen Wege zur Untersuchung ihrer Losbarkeit und zum Finden ihrer Losungsmengen herleiten.

Induktive Statistik – Rückschlüsse von einer Stichprobe auf die Allgemeinheit ziehen

Wie bereits angesprochen geht es bei der induktiven Statistik darum, aus einer Stichprobe Ruckschlusse auf die zugrunde liegende Grundgesamtheit zu ziehen bzw. Vermutungen uber die Grundgesamtheit zu stutzen oder zu verwerfen.

Determinanten und invertierbare Matrizen

Von besonderem Interesse fur uns und fur viele Anwendungen sind quadratische Matrizen bzw. Gleichungssysteme mit genauso vielen Unbekannten wie Gleichungen. Wie wir bereits im vorhergehenden Kapitel gesehen haben, muss eine Matrix A quadratisch sein, damit alle zugehorigen Gleichungssysteme A ⋅ x = b (fur jedes mogliche b) eine eindeutige Losung besitzen. In diesem Kapitel werden wir jeder quadratischen Matrix in subtiler Weise einen Skalar, ihre Determinante, zuordnen. Diese erlaubt uns, die Frage nach der eindeutigen Losbarkeit allgemein zu entscheiden, und sie hilft uns auch, diese Losung gegebenfalls zu finden.

Differenzialrechnung einer Variablen

Um bei der Werteentwicklung einer Folge ((a_{n})_{ninmathbb{N}_{0}}) festzustellen, ob ihre Werte ansteigen, gleich bleiben oder fallen, konnen wir zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder miteinander vergleichen: Gilt beispielsweise fur die Differenzenfolge ((d_{n})_{ngeq 1}) mit (d_{n}:=a_{n}-a_{n-1}), dass (d_{n}> 0) fur alle n ≥ 1 ist, so handelt es sich bei ((a_{n})_{ninmathbb{N}_{0}}) um eine streng monoton wachsende Folge. Ist fur alle n ≥ 1 jeder Wert der Differenzenfolge negativ, so ist ((a_{n})_{ninmathbb{N}_{0}}) streng monoton fallend. Der Betrag (|d_{n}|) beschreibt dabei das Ausmas des Wachstums oder Gefalles von ((a_{n})_{ninmathbb{N}_{0}}) vom Folgenindex n − 1 zum Index n.

Zweidimensionale deskriptive Statistik – den Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen beschreiben

Solange wir nur ein Merkmal betrachten, haben wir jetzt eine Vorstellung, wie man die Daten darstellen und analysieren kann. Interessant wird es aber, wenn man zwei (oder sogar noch mehr) Merkmale gleichzeitig betrachtet und sich fur Wechselwirkungen zwischen den Merkmalen, z. B. mogliche Einflusse, interessiert.

Partielle Differenzialgleichungen – Grundbegriffe und erste Beispiele

Partielle Differenzialgleichungen beschreiben viele wichtige Naturphanomene. Beispiele sind Schwingungen fester Korper, die Stromung von Flussigkeiten und Gasen, die Diffusion chemischer Stoffe und die Warmeleitung in Materialien ebenso wie die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen. In diesem Kapitel erklaren wir, was unter einer partiellen Differenzialgleichung zu verstehen ist. Wir stellen eine Reihe von typischen partiellen Differenzialgleichungen, wie sie in unterschiedlichen physikalischen und technischen Anwendungen vorkommen, vor. Erste einfache partielle Differenzialgleichungen konnen wir losen und wir erhalten so eine Vorstellung, wie Losungen partieller Differenzialgleichungen grundsatzlich aussehen. Wir zeigen, wie physikalische Erhaltungseigenschaften auf partielle Differenzialgleichungen fuhren, und wir werden sehen, dass auch Anfangs- und Randbedingungen physikalisch motiviert sind.

Flächen und Integrale über Flächen im ℝ 3

Neben Kurven und raumlichen Bereichen spielen Flachen im (mathbb{R}^{3}) bei vielen Ingenieuranwendungen eine wichtige Rolle. Wir diskutieren die Darstellung einer Flache S im (mathbb{R}^{3}) und berechnen den Flacheninhalt (|S|). Die Berechnung von (|S|) fuhren wir auf ein ebenes Bereichsintegral zuruck, wie wir es bereits kennen. Ist auf der Flache S eine skalare Funktion f gegeben, etwa eine Massedichte oder Ladungsdichte, so ergibt sich die Gesamtmasse oder die Gesamtladung mit dem Flachenintegral erster Art oder kurz: dem Flachenintegral der Funktion f auf S. In der Stromungsmechanik betrachtet man den Durchsatz eines stromenden Fluids durch eine Flache, die entweder offen oder geschlossen sein kann. Bei der Formulierung von Erhaltungssatzen der Stromungsmechanik oder den Maxwell-Gleichungen spielen Integrale uber Oberflachen von Korpern eine zentrale Rolle. Integriert man ein Vektorfeld (boldsymbol{v}:mathbb{R}^{n}tomathbb{R}^{n}) uber einer Flache S, so hat man es mit einem Flachenintegral zweiter Art oder einem Flussintegral zu tun. Die Berechnung des Fluss des elektrischen bzw. des magnetischen Felds bezuglich einer Flache (Ssubsetmathbb{R}^{3}) sind bekannte Aufgaben aus der Elektrostatik und Elektrodynamik.

Grundkonzepte der ganzzahligen linearen Optimierung

Mittelpunkt dieses Kapitels ist die Untersuchung von (speziell linearen) Optimierungsproblemen, deren Optimierungsvariable nur ganzzahlige oder sogar binare Werte annehmen durfen. Hierzu gehoren einerseits Probleme wie Transport-, Fluss-, Netzwerk- oder auch Routenprobleme, deren spezielle Struktur der auftretenden Systemmatrix dazu fuhrt, dass die Losung unter gewissen Voraussetzungen automatisch ganzzahlig wird. Andererseits gibt es zahlreiche Aufgaben, fur die man spezielle Methoden entwickeln muss, um die Ganzzahligkeit einer Losung zu garantieren. Hierfur stellen wir Branch-and-Bound-Methoden vor und illustrieren diese an unterschiedlichen Anwendungsbeispielen.

Laplace-Transformation und ihre Anwendung auf Differenzialgleichungen

Mit dem Exponentialansatz haben wir in Kap. 10 fur Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ein Verfahren kennengelernt, bei dem das Losen einer Differenzialgleichung auf das wesentlich einfachere Losen einer algebraischen Gleichung zuruckgefuhrt wird.Mithilfe der Laplace-Transformation ist es ebenfalls moglich, aus Differenzialgleichungen algebraische Gleichungen zu bekommen und auf diesem Weg die Differenzialgleichung zu losen. Dieses vor allem in der Regelungstechnik beliebte Verfahren bietet noch andere Vorteile. Die Anfangsbedingungen fliesen direkt in das Losungsverfahren mit ein, und die Berucksichtigung von Resonanz ist weniger aufwendig. In manchen Fallen braucht man die Differenzialgleichung uberhaupt nicht mehr aufstellen, sondern kann von der sog. Ubertragungsfunktion ausgehen, die in der Regelungstechnik eine eigenstandige Bedeutung hat.In diesem Kapitel erklaren wir, was eine Laplace-Transformation ist und wie man sie berechnet. Weiter zeigen wir, wie man die Laplace-Transformation auf das Losen von Differenzialgleichungen anwendet.

Eigenwerte und Normalformen

Matrizen konnen sehr unterschiedliche Gestalt annehmen, und ihre Gestalt ist von entscheidender Bedeutung dafur, wie leicht oder schwer es ist, mit diesen Matrizen zu arbeiten und zu rechnen. So ist es in der Regel etwa umso einfacher mit einer Matrix zu arbeiten, je weniger von 0 verschiedene Eintrage sie hat. Besonders leicht zu behandeln sind dabei Matrizen, die nur entlang der Diagonalen von 0 verschiedene Eintrage haben. So ist etwa das Gleichungssystem