Gerd Laures

ON COBORDISM OF MANIFOLDS WITH CORNERS

This work sets up a cobordism theory for manifolds with corners and gives an identication with the homotopy of a certain limit of Thom spectra. It thereby creates a geometrical interpretation of Adams-Novikov resolutions and lays the foundation for investigating the chromatic status of the elements so realized. As an application Lie groups together with their left invariant framings are calculated by regarding them as corners of manifolds with interesting Chern numbers. The work also shows how elliptic cohomology can provide useful invariants for manifolds of codimension 2.

Multiplicative properties of Quinn spectra

Abstract. We give a simple sufficient condition for Quinns “bordism-type spectra” to be weakly equivalent to strictly associative ring spectra. We also show that Poincaré bordism and symmetric L-theory are naturally weakly equivalent to monoidal functors. Part of the proof of these statements involves showing that Quinns functor from bordism-type theories to spectra lifts to the category of symmetric spectra. We also give a new account of the foundations.

Real Structures and Morava K-Theories

We show that real k-structures coincide for k = 1, 2 on all formal groups for which multiplication by 2 is an epimorphism. This enables us to give explicit polynomial generators for the Morava K(n)-homology of BSpin and BSO for n = 1, 2.

Characteristic numbers from 2-cocycles on formal groups

Abstract We give explicit polynomial generators for the homology rings of BSU and BSpin for complex oriented theories. Using these we are able to provide an alternative proof of the result of Hopkins et al. for symmetric 2-cocycles on formal group laws.

Wege und Schleifen

Topologische Probleme sind im Allgemeinen zu kompliziert, um sie direkt zu losen. Es gibt eine ziemlich grobe Methode, sie ubersichtlicher zu gestalten: Sie werden diskretisiert, indem man die Raume durch die Menge ihrer Wegekomponenten ersetzt. Feinere Diskretisierungsmethoden erhalt man dadurch, dass man die Raume erst durch Hilfsraume ersetzt und dann zu den Wegekomponenten ubergeht. Die resultierenden Mengen haben dann oft eine algebraische Struktur, die ihre Bestimmung leichter macht. Dies wird am Ende dieses Kapitels am Beispiel der Kreislinie angedeutet und in den nachfolgenden Kapiteln weiter ausgenutzt.

Zusammenhang und Trennung

In diesem Kapitel werden Eigenschaften topologischer Raume untersucht, die sich von einem Raum auf jeden anderen hierzu homoomorphen Raum ubertragen. Solche Eigenschaften nennt man topologisch. Die wichtigsten sind Zusammenhang, Trennungsaussagen und Kompaktheit. Die ersten beiden werden in diesem Kapitel diskutiert, die letzte dann im nachsten Kapitel.

Kompaktheit und Abbildungsräume

In diesem Abschnitt wird zunachst der Begriff der Kompaktheit topologischer Raume eingefuhrt. Danach wird er zu dem Begriff der eigentlichen Abbildung relativiert. Es folgt ein technischer Anschnitt uber den Satz von Tychonoff, der bei der ersten Lekture ubergangen werden kann. Anschliesend widmen wir uns den Abbildungsraumen: Wie es schon in der Analysis vor allem die Funktionenraume sind, denen das Interesse gilt, so sind es auch in der Topologie die Raume von stetigen Abbildungen, welche auserst wichtige Beispiele von topologischen Raumen liefern. Das Kapitel wird von einem technischen Abschnitt uber die Kategorie der (lokal) kompakt erzeugten Raume abgeschlossen, der zunachst auch ubergangen werden kann.

Grundbegriffe der Topologie

Die Topologie ist das Teilgebiet der Mathematik, welches sich dem Studium der stetigen Abbildungen widmet. Der Begriff der stetigen Abbildung stellt sich schon in der Analysis als wichtig heraus, etwa wenn es darum geht, Abbildungen zwischen metrischen Raumen zu untersuchen, die mit der Grenzwertbildung vertraglich sind. An diesen Kontext soll hier zunachst erinnert und dann angeknupft werden.

Bündel und Faserungen

Bundel sind eine wichtige Klasse von Abbildungen, die Uberlagerungen verallgemeinern: In einem allgemeinen Faserbundel muss die Faser nicht mehr diskret sein, sondern kann ein beliebiger topologischer Raum sein. Wichtige Beispielklassen von Faserbundeln sind Prinzipalbundel und Vektorraumbundel, deren Fasern topologische Gruppen und Vektorraume sind. Dieses Kapitel ist eine Einfuhrung in diese Begriffswelt.