Gerd Pönisch

Computing turning points of curves implicitly defined by nonlinear equations depending on a parameter

Let the space curveL be defined implicitly by the (n, n+1) nonlinear systemH(u)=0. A new direct Newton-like method for computing turning points ofL is described that requires per step only the evaluation of one Jacobian and 5 function values ofH. Moreover, a linear system of dimensionn+1 with 4 different right hand sides has to be solved per step. Under suitable conditions the method is shown to converge locally withQ-order two if a certain discretization stepsize is appropriately chosen. Two numerical examples confirm the theoretical results.ZusammenfassungDie RaumkurveL werde implizit durch das nichtlineare (n, n+1)-SystemH(u)=0 definiert. Es wird ein neues direktes Newton-ähnliches Verfahren zur Bestimmung der Rückkehrpunkte vonL beschrieben, das pro Schritt lediglich die Berechnung einer Jacobimatrix und 5 Funktionswerten vonH erfordert. Außerdem ist pro Schritt ein lineares Gleichungssystem der Dimensionn+1 mit 4 verschiedenen rechten Seiten zu lösen. Unter passenden voraussetzungen wird die lokale undQ-quadratische Konvergenz des Verfahrens bewiesen, sofern eine gewisse Diskretisierungsschrittweise geeignet gewählt wird. Zwei numerische Beispiele bestätigen die theoretischen Resultate.

Computing simple bifurcation points using a minimally extended system of nonlinear equations

The present paper deals with the computation of simple bifurcation points of nonlinear parameter dependent equations. At first, a minimally extended system of nonlinear equations is constructed by addition of one parameter and two equations. This augmented system has an isolated solution which yields to the simple bifurcation point directly. Using the structural properties of this auxiliary system an adapted Newton-like method is developed not requiring evaluations of second derivatives. Finally, the results of some computer experiments show the efficiency of theR-quadratically convergent method.ZusammenfassungEs wird eine Vorgehensweise zur Berechnung einfacher Bifurkationspunkte nichtlinearer, von einem Parameter abhängender Gleichungssysteme vorgestellt. Zunächst wird das ursprüngliche Gleichungssystem um einen Parameter und zwei Gleichungen erweitert. Das so erhaltene System besitzt eine reguläre Lösung, aus der unmittelbar der gesuchte Bifurkationspunkt abgelesen werden kann. Aufgrund der speziellen Struktur dieses Systems wird ein Newton-ähnliches Verfahren abgeleitet, das ohne die Berechnung zweiter Ableitungen auskommt. Abschließend wird die Wirksamkeit des vorgeschlagenenR-quadratisch konvergenten Verfahrens an einfachen Beispielen demonstriert.

A quadratically convergent method for computing simple singular roots and its application to determining simple bifurcation points

We present an efficient method for computing roots of mappings on ℝn in the case where the Jacobian has the rankn−1 at the root. For the accurate determination of such a rootx*∈ℝn an auxiliary system ofn equations inn+1 variables is constructed which possesses (x*, 1) as a turning point. This turning point can be computed by direct methods. We use an adapted method which requires only the solution of (n+1)-dimensional systems of linear equations and the evaluation of one Jacobian and 5 function values per step. This techniques is successfully applied to compute simple bifurcation points by means of a suitable system of nonlinear equations which has the properties mentioned above.ZusammenfassungEs wird ein effektives Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme hergeleitet, wobei die Jacobi-Matrix im Lösungspunktx*∈ℝn einen Rangabfall von 1 besitzt. Dem gegebenen Gleichungssystem der Dimensionn wird ein Hilfsproblem inn+1 Variablen zugeordnet, das den Rückkehrpunkt (x*, 1) besitzt. Die Bestimmung von (x*, 1) erfolgt mit einem angepaßten Verfahren, das ohne die Berechnung zweier Ableitungen auskommt und nur die Lösung linearer Gleichungssysteme der Dimensionn+1 erfordert. Das angegebene Prinzip wird erfolgreich zur Bestimmung einfacher Bifurkationspunkte eingesetzt, die sich als Lösungen nichtlinearer Gleichungssysteme mit singulären Jacobi-Matrizen charakterisieren lassen.

Ein lokal überlinear konvergentes Verfahren zur Bestimmung von Rückkehrpunkten implizit definierter Raumkurven

SummaryA numerical technique is described for computing turning points of a space curveL implicitly defined by a nonlinear system ofn equations inn+1 variables. The basic idea is a local parametrization ofL where the parameter that gives the next iterate is determined by applying one step of the well-known method for minimizing a real function using cubic Hermite interpolation with two nodes. The method is shown to convergeQ-super-linearly and withR-order of at least two. A numerical example concerning the analysis of nonlinear resistive circuits shows the algorithm to work effectively on real life problems.

Computing hysteresis points of nonlinear equations depending on two parameters

A direct method is described for computing a hysteresis point (double turning point) corresponding to a cusp point of a system ofn nonlinear equations inn variables depending on two parameters. By addition of two equations a minimally extended system ofn+2 nonlinear equations is constructed for which the hysteresis point is an isolated solution. An efficient implementation of Newtons method is presented not requiring evaluations of second derivatives of the original problem. Two numerical examples show the efficiency of theQ-quadratically convergent method.ZusammenfassungEs wird ein direktes, Verfahren zur Berechnung eines Hysteresepunktes (zweifacher Rückkehrpunkt), der in Beziehung zu einem Cusp-Punkt eines nichtlinearen, von zwei Parametern abhängenden Systems vonn Gleichungen inn Variablen steht, beschrieben. Ein minimal erweitertes, nichtlineares Gleichungssystem wird durch Anfügen von zwei Gleichungen konstruiert, das den Hysteresepunkt als isolierte Lösung besitzt. Es wird eine effektive Implementierung des Newton-Verfahrens vorgestellt, die ohne die Berechnung zweiter Ableitungen des Originalproblems arbeitet. Zwei Beispiele zeigen die Wirksamkeit desQ-quadratisch konvergenten Verfahrens.

An indirect method for computing origins for Hopf bifurcation in two-parameter problems

Branches of turning points and of Hopf bifurcation points can exist in a two-parameter problem because simple turning points and Hopf points are structurally stable in the one-parameter problem. It is well-known that in a two-parameter problem a branch of Hopf points can emanate from a turning point curve at a so-called BT-point for which the Jacobian matrix of the steady state problem has a double eigenvalue zero with a one-dimensional nullspace. Hence such a BT-point that is also called origin for Hopf bifurcation can be detected during the continuation of a turning point curve. In order to determine such a BT-point efficiently we present an indirect method that fits to the continuation procedure.Based on a nonsingular parametrization of the turning point curve a scalar test function is given, for which the parameter value of the BT-point is a regular zero. A Newton-like method that utilizes the internal structure of the test function and its derivative is used to generate a superlinearly convergent sequence of parameter values. At each step the corresponding turning point has to be calculated approximately by a direct method. The implementation of the whole procedure is organized in such a way that the second order derivatives of the original problem occur only in form of directional derivatives and, hence, they are approximated by special difference formulas requiring only a few additional function values.Numerical examples illustrate the behavior of the algorithm, where one example is a model of a chemical exothermic reaction described by a system of partial differential equations.ZusammenfassungKurven von Rückkehrpunkten und Hopf-Bifurkationspunkten können in der Lösungsmannigfaltigkeit von zweiparametrischen Problemen vorkommen, da einfache Rückkehrpunkte und Hopf-Punkte von einparametrischen Problemen strukturell stabil sind. So kann bei zweiparametrischen Problemen eine Kurve von Hopf-Punkten von einer Rückkehrpunktkurve in einem sogenannten BT-Punkt anzweigen, in dem die Jacobi-Matrix des stationären Problems den zweifachen Eigenwert Null besitzt und der Nullraum eindimensional ist. Folglich kann ein solcher BT-Punkt, der auch als Basispunkt für eine Hopf-Bifurkation bezeichnet wird, durch Verfolgung einer Rückkehrpunktkurve aufgespürt werden. Zur effektiven Bestimmung eines solchen BT-Punktes wird ein angepaßtes indirektes Verfahren vorgestellt.Ausgehend von einer regulären Parametrisierung der Rückkehrpunktkurve wird eine skalare Testfunktion angegeben, die den zum BT-Punkt gehörenden Parameterwert als reguläre Nullstelle besitzt. Ein Newton-ähnliches Verfahren, bei dem die innere Struktur der Testfunktion und ihrer ersten Ableitung ausgenutzt wird, wird zur Gewinnung einer überlinear konvergenten Folge von Parameterwerten angewandt. In jedem Schritt ist der zugehörige Rückkehrpunkt näherungsweise mit einem direkten Verfahren zu berechnen. Das gesamte Verfahren ist so implementiert, daß die zweiten partiellen Ableitungen der Problemfunktion nur in Form von Richtungsableitungen auftreten und daher durch spezielle Differenzenausdrücke approximiert werden, die nur wenige zusätzliche Funktionswerte erfordern.Numerische Beispiele illustrieren das Verhalten des Algorithmus, wobei das Modell einer chemischen exothermen Reaktion ein Beispiel ist, das durch ein System partieller Differentialgleichungen beschrieben wird.

Singular Points in Electromechanical Systems and Their Determination

An approach to determine turning points in electromechanical systems is presented and applied to the determination of pull-in parameters. The pull-in phenomenon is an inherent instability in devices using electrostatic actuation where an electrostatic force works against an elastic restoring force. The paper presents a relation between multi-valued characteristics describing MEMS devices and weakly singular tracking problems. The technique of augmented systems that characterize turning points is applied to the analytical and numerical determination of pull-in parameters. The method is discussed using a computer algebra system and a VHDL-AMS simulation engine.

Computing multiple pitchfork bifurcation points

A point (x*,λ*) is called apitchfork bifurcation point of multiplicityp≥1 of the nonlinear systemF(x, λ)=0,F:ℝn×ℝ1→ℝn, if rank∂xF(x*, λ*)=n−1, and if the Ljapunov-Schmidt reduced equation has the normal formg(ξ, μ)=±ξ2+p±μξ=0. It is shown that such points satisfy a minimally extended systemG(y)=0,G:ℝn+2→ℝn+2 the dimensionn+2 of which is independent ofp. For solving this system, a two-stage Newton-type method is proposed. Some numerical tests show the influence of the starting point and of the bordering vectors used in the definition of the extended system on the behavior of the iteration.

Multiple dc solution determination using VHDL-AMS

Many circuits such as flip-flops, Schmitt triggers, and negative resistance circuits have multiple dc solutions. The same problem can occur in electrical nonelectrical devices. For many years homotopy techniques have been investigated to obtain the multiple solutions. We present a method that establishes the resulting curve-tracing problem as a network analysis problem using the hardware description language VHDL-AMS. Thus, the curve-tracing problem can be solved with an available VHDL-AMS simulation engine. A special customized simulator is not necessary. The methodology can also be applied to the calculation of transfer characteristics and turning points. This allows e. g. the determination of pull-in voltages in MEMS.

An Indirect Approach to Computing Origins of Hopf Bifurcation and Its Application to Problems with Symmetry

In the paper an indirect method for numerically computing TB-turning points of nonlinear equations depending on two parameters is presented. The method allows the efficient approximation of the second order partial derivatives ocurring in the algorithm. Moreover, the method is adapted to G-equivariant equations. In this case the computations can be restricted to the symmetric part of the turning point curve.