Gerhard Frey

A remark concerning m -divisibility and the discrete logarithm in the divisor class group of curves

The aim of this paper is to show that the computation of the discrete logarithm in the m-torsion part of the divisor class group of a curve X over a finite field ko (with char(ko) prime to m), or over a local field k with residue field ko, can be reduced to the computation of the discrete logarithm in k0(4m)* . For this purpose we use a variant of the (tame) Tate pairing for Abelian varieties over local fields. In the same way the problem to determine all linear combinations of a finite set of elements in the divisor class group of a curve over k or ko which are divisible by m is reduced to the computation of the discrete logarithm in ko(Cm)* -

The Tate pairing and the discrete logarithm applied to elliptic curve cryptosystems

The Tate pairing is used to reduce the discrete logarithm (DL) problem on certain elliptic curves to the DL in the multiplicative group of finite fields.

Arithmetic of Modular Curves and Applications

The aim of this article is to describe a computational approach to the study of the arithmetic of modular curves Xo(N)and to give applications of these computations.

Elliptic curves and solutions of A-B=C

In the following we want to report how elliptic curves can be used to get information about solutions of the equation A−B=C.

Quadrate in Qp

Sei p ≠ 2 eine Primzahl und x∊ℤ p x .x heist quadratischer Rest modp, falls es ein y∊ℤp gibt mit y2-x∊pℤp. Sonst heist x quadratischer Nichtrest.

Quadratische Formen über Q und Qp

Nachdem wir im vierten Kapitel die Theorie der Quadrate in ℤ/p und Qp behandelt und mit dem Hilbert-Symbol das Verhalten einer speziellen quadratischen Form untersucht haben, wollen wir nun eine Lokal-Global-Untersuchung aller quadratischer Formen uber ℤ durchfuhren.

Komplettierungen von Q

Die reellen Zahlen und ihre grundlegenden Eigenschaften als Oberkorper von Q sind dem Leser wohl schon aus der Analysisvorlesung bekannt. Zur Bequemlichkeit skizzieren wir in diesem Paragraphen eine Moglichkeit, sie zu konstruieren. Der von uns in § 1 von Kapitel I konstruierte Korper Q der rationalen Zahlen besitzt auser den schon betrachteten arithmetischen Eigenschaften auch metrische Eigenschaften, die weitere Informationen uber Q und vor allem uber Funktionen auf Q liefern.