Gisbert Wüstholz

Estimating isogenies on elliptic curves

The object of this paper is to prove a new type of estimate for isogenies between elliptic curves. This has several diophantine applications (effective versions of Serres Galois irreducibility theorem and Shafarevichs theorem, for example) which are presented in another paper [MW3]. Later articles will deal with the corresponding problems for abelian varieties of arbitrary dimension. Right at the beginning we emphasize that we are identifying elliptic curves E with Weierstrass equations

Der Überlagerungsradius gewisser algebraischer Kurven und die Werte der Betafunktion an rationalen Stellen

ZusammenfassungFür abelsche Varietäten mit komplexer Multiplikation wird die Dimension des berechnet, der von den Perioden erster und zweiter Art erzeugt wird. Angewandt auf die Jacobi-Varietät der Fermat-Kurven, ergibt dieses Resultat zusammen mit den Kriterien von Shimura-Taniyama und Deligne-Koblitz-Ogus einen optimalen Satz über die lineare Unabhängigkeit der WerteB(a1,b1),...,B(an,bn) der Betafunktion an rationalen Stellenaj,bj: Sie sind nur in dem offensichtlichen Fall-linear unabhängig, wenn diese Abhängigkeit bereits aus den klassischen Gauß-Legendre-Identitäten für die Werte der Γ-Funktion folgt.Dieser Satz gibt widerum eine Teilantwort auf eine Transzendenzfrage, die S. Lang für die Uniformisierungtheorie aufgeworfen hat: SeiX eine glatte projektive algebraische Kurve, definiert über und vom Geschlechtg>1, und sei

Factorization estimates for abelian varieties

\varphi :U_r : = \{ \zeta \in \left. \mathbb{C} \right|\left| \zeta \right|< r\} \to X

II.1 Grundlegendes

Eine normalisierte holomorphe Überlagerungsabbildung, d.h. mitϕ(0)∈X() und mit einer über definierten Tangentialabbildungϕ′(0); ist dann der „Überlagerungsradius”r transzendent? Die Antwort ist „ja”, wennX viele Automorphismen besitzt-z. B. für Fermat-Kurven oder die Kleinsche Quadrikund wenn ϕ(0) Fixpunkt ist, denn in diesem Fall läßt sich der Überlagerungsradius als Quotient von-linear unabhängigen Betawerten schreiben.

I.4 Körper und Galois-Theorie

tions the field K will be the field Q of algebraic numbers. We remark at this point that the results remain true if we take instead of the field of complex numbers C its p-adic analogue C for some fixed prime p and for K a corresponding subfield Kp of CP. We restrict ourselves to the complex case in order to avoid some minor complications appearing in the p-adic domain. These complications always arise when analytic functions come in. Our functions are defined globally in the case of complex numbers but only locally in the case when we deal with the p-adic domain. These difficulties can be avoided by a purely algebraic approach. If we took this approach the only condition on the ground field would be that it should be algebraically closed and of characteristic zero. But we prefer to avoid such an approach in order to keep the text understandable, also for those who are mainly interested in the applications in transcendence.

I.3 Ringtheorie

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II.5 Darstellungen von endlichen Gruppen

Questions on the transcendence and linear independence of periods have a long history going back at least to Euler. We shall first give in this note a historical introduction to periods with the aim to demonstrate how a very nice and deep theory evolved during 3 centuries with three themes: numbers (Euler, Leibniz, Hermite, Lindemann, Siegel, Gelfond, Schneider, Baker), Hodge theory (Hodge, De Rham, Grothendieck, Griffiths, Deligne) and motives (Deligne, Nori). One of our main intends is to discuss then how to possibly bring these themes together and to show how modern transcendence theory can solve questions which arise at the interfaces between number theory, global analysis, algebraic geometry and arithmetic algebraic geometry.

II.2 Gruppen

In diesem Kapitel beschaftigen wir uns mit Abbildungen, Relationen sowie mit Verknupfungen. Solche Themen werden in der Regel bereits vorher im Studium behandelt, daher geben wir nur einige exemplarische Aufgaben.