Harry Schmidt

Zur Theorie der erzwungenen Schwingungen

ZusammenfassungUnterliegt ein schwingungsfähiges System dem Einfluß einer unstetigen periodischen Störungskraft, so werden erfahrungsgemäß an den Unstetigkeitsstellen der Störung die Eigenschwingungen des Systems stets neu erregt. Diese Tatsache wird in der nachstehenden Mitteilung formelmäßig zum Ausdruck gebracht.

Zur Dynamik der frei aufliegenden Rechteckplatte

ZusammenfassungVon dem für plötzliche Einschaltung eines rechteckig berandeten Lastfeldes erhaltenen Resultat ausgehend wird die Wirkung von Impulsen sowie von beliebigen raumzeitlichen Lastverteilungen ermittelt, wobei als Beispiel der Fall einer beschleunigt bewegten Belastung behandelt wird.

Biegung der frei aufliegenden Rechteckplatte mit statischer, rechteckig berandeter Lastverteilung

ZusammenfassungMit Benutzung des vom Verfasser früher angegebenen Integrationsverfahrens wird die Durchbiegung einer frei aufliegenden Rechteckplatte für den Fall berechnet, daß ein beliebiger, parallel zu den Plattenrändem abgegrenzter Plattenteil eine statische, gleichförmige Belastung trägt. Als wichtigste hierin enthaltene Spezialfälle werden hervorgehoben: 1. volle Belastung der ganzen Platte, 2. eine zu einem Plattenrand parallele Linienbelastung von beliebiger Angriffslänge, 3. eine beliebig angreifende Einzellast. Schließlich wird darauf hingewiesen, daß die Übertragung des Verfahrens auf ortsabhängige Last-verteilungen keinerlei Schwierigkeiten bereitet.

Zur Theorie der erzwungenen Transversalschwingungen homogener Stäbe konstanten Querschnitts

ZusammenfassungUnter Benutzung der zunächst für plötzliche Belastungsänderungen abgeleiteten Resultate wird die Schwingungsgleichung des homogenen, beiderseits gestützten Stabes mit konstantem Querschnitt für den Fall eines beliebig vorgelegten Störungsgliedes integriert. Die so erhaltene Lösung gibt die jeweilige Durchbiegung als Superposition einer kontinuierlichen Folge von Impulswirkungen wieder; aus ihr läßt sich durch einfache Umformung die der momentanen Lastverteilung zugeordnete statische Durchbiegung abtrennen, wobei dann die übrigbleibenden Glieder denjenigen Schwingungen entsprechen, die durch den Einschaltvorgang und die hinterher erfolgenden stetigen bzw. unstetigen Belastungsänderungen angeregt werden. Als Anwendungsbeispiel wird der Fall einer zeitlich veränderlichen, mit beliebiger Geschwindigkeit über den Stab hinwegwandernden Einzellast kurz behandelt, der durch geeignete Spezialisierungen die Lösung praktisch wichtiger Belastungsfälle zu liefern vermag.

Über das Auftreten von Eigenschwingungen bei erzwungenen Bewegungen eines linearen harmonischen Oszillators

ZusammenfassungWird ein zuvor in Ruhe befindlicher linearer harmonischer Oszillator von einem bestimmten Zeitpunkt ab dem Einfluß einer Störungskraft K(t) ausgesetzt, die eine stückweise analytische Funktion der Zeit t darstellt, so werden an jeder Stelle, an der zwei analytische Stücke von K(t) aneinandergesetzt sind, gedämpfte Eigenschwingungen des Oszillators angefacht. Es wird eine Lösung der Schwingungs-gleichung angegeben, die diese Tatsache explizit zum Ausdruck bringt, wobei sich dann zugleich der analytische Zusammenhang zwischen der „erzwungenen Schwingung“ und der Störungsfunktion K(t) ergibt.

Über Systeme linearer Differentialgleichungen mit zyklischer Koeffizienten-Determinante

ZusammenfassungIn Verallgemeinerung und Erweiterung einiger von Andreoli mitgeteilter Sätze wird gezeigt, wie sich gewisse Systeme linearer Differentialgleichungen auf einfachere Systeme reduzieren lassen.

Über den Begriff der erzwungenen Schwingung

ZusammenfassungDen in der Literatur nicht immer genau definierten Begriff der erzwungenen Schwingung pflegt man im allgemeinen mit demjenigen stationären Bewegungszustand zu identifizieren, dem ein schwingungsfähiges System unter dem Einfluß einer periodischen Störungskraft für t → ∞ zustrebt. Da aber in diesem stationären Zustand eine gewisse Anzahl an bestimmten Stellen jeder einzelnen Periode stets erneut erregter Eigenschwingungen auftreten kann, so dürfte es ratsam erscheinen, unter erzwungener Schwingung diejenige Bewegung zu verstehen, die man aus dem stationären Zustand durch Abtrennung sämtlicher darin explizite vorkommender Eigenschwingungen erhält, und die dann eine mehr oder minder verzerrte Wiedergabe des zeitlichen Verlaufs der den gesamten Bewegungsvorgang bedingenden Störungskraft darstellt.

Über die erzwungenen Schwingungen eines linearen harmonischen Oszillators

ZusammenfassungAus der Lösung der Differentialgleichung der erzwungenen Schwingungen eines linearen harmonischen Oszillators, die mau nach dem von Cauchy herrührenden Integrationsverfahren erhält, wird eine periodische Funktion der Zeit abgespalten, die bei Voraussetzung einer absolut integrablen Störungsfunktion stetig und stetig differenzierbar ist, mithin in eine absolut und gleichmäßig konvergente Fouriersche Reihe entwickelt werden kann. Diese Reihe stimmt mit derjenigen trigonometrischen Reihe überein, die bei dem üblichen Integrationsverfahren mit Benutzung der Fourierschen Reihe der Störungsfunktion, und zwar ohne jede Rücksichtnahme auf die Konvergenz dieser Entwicklung, erhalten wird (Satz von R. Weyrich). Für den Fall einer Stoßerregung läßt sich die Lösung der Schwingungsgleichung in solcher Form darstellen, daß darin die Erfahrungstatsache, daß zu Beginn und am Ende jedes einzelnen Stoßes die Eigenschwingungen des Oszillators stets erneut angefacht werden, unmittelbar zum Ausdruck gelangt.