Herbert Arndt

Numerical solution of retarded initial value problems: Local and global error and stepsize control

SummaryRetarded initial value problems are routinely replaced by an initial value problem of ordinary differential equations along with an appropriate interpolation scheme. Hence one can control the global error of the modified problem but not directly the actual global error of the original problem. In this paper we give an estimate for the actual global error in terms of controllable quantities. Further we show that the notion of local error as inherited from the theory of ordinary differential equations must be generalized for retarded problems. Along with the new definition we are led to developing a reliable basis for a step selection scheme.

Ein verallgemeinerter Kettenbruch-Algorithmus zur rationalen Hermite-Interpolation

SummaryIn this paper we consider rational interpolation for an Hermite Problem, i.e. prescribed values of functionf and its derivatives. The algorithm presented here computes a solutionp/q of the linearized equationsp−fq=0 in form of a generalized continued fraction. Numeratorp and denominatorq of the solution attain minimal degree compatible with the linearized problem. The main advantage of this algorithm lies in the fact that accidental zeros of denominator calculated during the algorithm cannot lead to an unexpected stop of the algorithm. Unattainable points are characterized.

Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit nichtlinearen Splines

ZusammenfassungIn dieser Arbeit werden nichtlineare Splines zur Lösung von Anfangswertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen herangezogen. In der Nähe von Singularitäten besitzen z.B. verallgemeinerte rationale Splines mit variablen Exponenten gute Approximationseigenschaften. Bei Polynomsplines können Konvergenzaussagen hergeleitet werden, indem Äquivalenz dieser Verfahren mit gewissen linearen Mehrschrittverfahren gezeigt wird. In dieser Arbeit behandeln wir den nichtlinearen Fall, indem wir die lokalen Fehler in den Knoten direkt verfolgen. Einige numerische Beispiele zeigen die Güte dieser Verfahren insbesondere bei solchen Lösungen, die sehr steil anwachsen oder sogar im betrachteten Intervall singulär werden.SummaryWe consider the technique of using nonlinear splines to solve the initial value problem of ordinary differential equations. It is known, for example, that generalized rational splines with variable exponents yield good approximations to the exact solution in the neighborhood of a singularity. In the case of polynomial splines, convergence results may be derived by demonstrating the equivalence of the method to linear multistep methods. This sort of analysis has been done by many authors. In this paper we treat the nonlinear case and are able to prove convergence by directly estimating the local errors at interior knots. Some computational examples are given which illustrate the power of the method near a singularity.

On Step Size Control for Volterra Integral Equations

In numerically solving Volterra integral equations of the second kind,

Einführung und elementare Lösungsmethoden

y(x) = g(x) + \int\limits_a^x {K(x,t,y(t))dt,\;x \in [a,b],}

Gewöhnliche Differentialgleichungen : eine Einführung in Theorie und Praxis

where g and kernel K are given functions, known step size strategies proceed in the same way as in the case of ordinary differential equations. Since for integral equations the integration is carried out over a triangle, such a step size control estimates the local error along the diagonal of the triangle only. We develop a step size policy that controls the local error over the whole triangle and demonstrate the efficiency of the modified step size control hy examples.

The Influence of Interpolation on the Global Error in Retarded Differential Equations

In den bisherigen Abschnitten haben wir uns fast ausschlieslich mit der theoretischen und numerischen Losung von Anfangswertaufgaben befast. Im folgenden werden nun Randwertaufgaben behandelt. Deshalb sei vorab wiederholt, was unter einer solchen Aufgabe zu verstehen ist.

Methoden der Analysis

Das Losen von Gleichungen ist eine Aufgabe, die sehr haufig und in vielfaltiger Form in der Mathematik selbst und bei ihrer Anwendung auftritt. Ihr Ziel kann sein, eine Losung durch theoretische Uberlegungen („analytisch“) zu ermitteln und explizit anzugeben, oder aber, falls dies nicht moglich ist, eine Naherungslosung mit Hilfe numerischer Verfahren zu berechnen. Es gibt sogar Falle, in denen man das Losen durch numerische Verfahren der Auswertung des explizit bekannten Ausdrucks vorzieht, weil jenes organisatorisch (Programmierung) und numerisch einfacher ist als die analytische Auswertung.