Hermann-Josef Kruse

Survey of solved and open problems in the degeneracy phenomenon

Degeneracy is a phenomenon that may arise, e.g., in linear programming (LP for short), bottleneck LP, multiparametric LP, linear vectormaximization, etc. If it does arise then it certainly influences any vertex-searching method for mathematical models based on a system of linear inequalities and in some cases it leads to misinterpretation of optimal solutions.

Classification of Real World Trim Loss Problems

Trim loss problems, also called cutting stock or depletion problems, are essential for production planning in some industries (e.g. in the paper, wood, metal, glass, plastic, and textile industries). In these industries the minimization of production costs is often approached in the following way: The raw material used is first produced in large standard sizes, possibly stored, and only later reduced to smaller sizes for in-plant processing or to meet customers’ orders. This production pattern, on the one hand, involves a temporal uncoupling of raw material production and manufacturing of final products, and on the other hand it avoids a frequent resetting of production facilities which would be necessary if the product size required were produced from the input material in one step only. There are drawbacks, however, since an additional stage of production (the cutting operation) is required which generates useless remainder (trim loss). “Trim loss planning” is concerned with minimizing the negative effects thus created on the production costs.

Optimumgraphen zur Analyse Linearer Optimierungsprobleme unter Entartung

Zur Untersuchung der Entartungsstrukturen von Polyederecken bei Optimierungsproblemen, deren zulassige Losungen konvexe polyedrische Mengen bilden, hat sich ein graphentheoretischer Ansatz bewahrt [1, 3, 4, 6]. Die konvexen polyedrischen Mengen werden auf kanonische Weise in sog. Darstellungsgraphen transformiert, die entarteten Ecken dabei durch Teilgraphen, sog. Entartungsgraphen [6], dargestellt.

Standard Software for Cutting Stock Management

Cutting stock processes cause a series of problems for which computer support is of importance, if not indispensable. Along with the questions of material management, especially the question of how much raw material can be saved by optimizing the cutting process and thus reducing waste, other aspects of computer-based production planning and control are touched on, including the embedding of the cutting process in a comprehensive CIM system.

Funktionen einer Variablen

Der Inhalt dieses Kapitels ist weitgehend eine Wiederholung von Schulwissen. Die Darstellung wird daher i.a. knapp gehalten und auf eine Herleitung der Begriffe, Regeln und Satze meist verzichtet. Die Trennung zwischen dem mathematisch-anschaulichen und dem strengformalen Teil 1 entfallt in diesem Kapitel. Stattdessen sollen Erlauterungen anhand von Beispielen Ihr Wissen auffrischen2.

Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen

In der Okonomie sowie in vielen anderen Anwendungsbereichen der Mathematik ist eine beobachtete Grose haufig von mehreren Variablen abhangig. Die mathematische Beschreibung derartiger Zusammenhange fuhrt unmittelbar zum Begriff der reellen Funktion in mehreren Variablen.

Geometrie im R n

Wir haben in Kap. 1 den R n anhand einiger, meist okonomischer Beispiele als linearen Vektorraum kennengelernt. Es ist deutlich geworden, das die Vektorrechnung ein wichtiges Hilfsmittel ist, um okonomische Zusammenhange zu beschreiben und zu modellieren. Dabei liefern geometrische Betrachtungen oft einen wesentlichen Beitrag zum besseren Verstandnis. In diesem Kapitel werden wir uns eingehend mit der Geometrie im R n befassen. Unser Augenmerk ist in erster Linie auf die geometrische Veranschaulichung von Zusammenhangen in der linearen Algebra gerichtet. Wir werden dabei weitgehend auf okonomische Beispiele verzichten, verweisen an dieser Stelle aber auf die okonomischen Hintergrunde bei der in Kap. 1 behandelten Vektorrechnung.

Extrema bei Funktionen mehrerer Variablen

In diesem Abschnitt werden wir Maxima und Minima von Funktionen mehrer Variablen behandeln. Wir veranschaulichen diese Problemstellung zunachst an folgendem Beispiel.