Jean Lannes

Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d'un p-groupe abélien élémentaire

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Sur la structure des A-modules instables injectifs

Notre resultat est que ce dernier exemple donne essentiellement tous les @-injectifs: nous montrons que tout @-injectif est isomorphe a une somme directe de A-modules instables de la forme L @ J(n), L designant un facteur direct indecomposable de H * (iZ lF,), m et n parcourant N. Pour un n lF,) est %!-injective; il montre aussi par les memes mtthodes que H * (B(Z/p)m; F,) est @-injectif (au moins pour m = 1, ce qui suffisait a son propos). Dans [ 163, S. Zarati et le premier auteur etudient les produits tensoriels de @-injectifs et montrent notamment que H *(B(Z/p)“; F,) @I J(n) est %-injectif. L’intCrCt des @-injectifs tient a ce que la a!-injectivite de la cohomologie modulo p dun espace X donne beaucoup d’informations sur l’ensemble [X, Y] des classes d’homotopie d’applications de X dans Y pour une large classe d’espaces Y (classe dont la taille varie en fonction d’autres proprietes de X). Rappelons que la %-injectivite de H * (B(E/p); F,,) joue un role essentiel dans la solution par Miller de la conjecture de Sullivan [18]. Les @-injectifs interviennent aussi, dans la conjecture de Segal pour les p-groupes abtliens llementaires [6], [16], [17], [26], [13], dans la solution de la conjecture de Sullivan “gtneraliste” donnee dans [13], et dans la thtorie des spectres de Brown-Gitler [18], [14], [9]. Voici le sommaire de l’article:

A propos de conjectures de Serre et Sullivan

SummaryWe first give a new proof of a conjecture of J.-P. Serre on the homotopy of finite complexes, which was recently proved by C. McGibbon and J. Neisendorfer. The emphasis is on a property of the mod. 2 homology of certain spaces: their “quasi-boundedness” as right modules over the Steenrod algebra. This property is preserved when one goes from a simply connected space to its loop space and also when one takes a covering of anH-space. Then we show that this notion of quasi-boundedness simplifies H. Millers proof of D. Sullivans conjecture on the contractibility of the space of pointed maps from the classifying space of the groupe ℤ/2 into a finite complex.

Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d’un groupe de Lie compact commutatif

RésuméNous montrons dans cet article comment les connaissances acquises sur les espaces fonctionnels de source le classifiant du groupeZ/p ([La2], [DS]) et l’utilisation de MU-résolutions instables permettent d’obtenir des résultats sur les espaces fonctionnels de source le classifiant d’unp-groupe abélien fini ou d’un tore si l’on impose au but d’avoir une cohomologie à coefficientsp-adiques sans torsion. Nous montrons notamment que l’ensemble des classes d’homotopie d’applications du classifiant X d’un tore dans un espace Y simplement connexe dont l’homologie entière est nulle en degré impair et un groupe abélien libre de dimension finie en chaque degré pair, et dont la cohomologie rationnelle est polynomiale, s’identifie à l’ensemble des applications de la K-théorie de Y dans la K-théorie de X qui préservent la structure de λ-anneau.AbstractWe show in this paper how the acquired knowledge on the mapping spaces with source the classifying space ofZ/p ([La2], [DS]) and the use of unstable MU-resolutions give results on the mapping spaces with source the classifying space of a finite abelianp-group or a torus if the target space is required to have a torsion freep-adic cohomology. We prove among other things that the set of homotopy classes of maps from the classifying space X of a torus to some simply connected space Y whose ordinary homology is null in odd degrees and a finite-dimensional free abelian group in each even degree, and whose rational cohomology is polynomial, identifies with the set of maps from the K-theory of Y to the K-theory of X which preserve the λ-ring structure.

Applications dont la source est un classifiant

Depuis la fin des annees 70 un grand nombre de travaux ont ete consacres aux espaces fonctionnels hom(BG,-) dont la source est le classifiant d’un groupe de Lie compact G (par exemple un groupe fini). Rappelons la terminologie : l’espace fonctionnel hom(X, Y) est l’espace des applications d’un espace X dans un espace Y. Les motivations originales etaient les conjectures de Segal et Sullivan. La conjecture de Segal concernait l’espace fonctionnel hom(BG, QS0), G designant un groupe fini et QS0 la limite directe des espaces de lacets Ω n S n . Un cas particulier de la conjecture de Sullivan, celui traite en premier par H. R. Miller [Mi], concernait les espaces fonctionnels hom(Bℤ/p), Y) avec Y un CW-complexe fini.

Sur Les Groupes D’Homotopie Des Espaces Dont La Cohomologie Modulo 2 Est Nilpotente

The main object of this note is to prove the following generalisation of a theorem of Serre. A simply connected space of finite type whose mod. 2 cohomology is nilpotent (and non-trivial) has infinitely many homotopy groups which are not of odd torsion. Incidentally we show that for every fibrationF(→ί)E (→p)B, satisfying certain mild conditions, the following holds. If a classx in the mod. 2 cohomology ofE belongs to the kernel ofi*, then some power ofx belongs to the ideal generated by the image underp* of the mod. 2 reduced cohomology ofB.