Jean-Pierre Hulin

Dispersion in the presence of recirculation zones

Abstract Hydrodynamic effects are of prime importance in understanding the effects of dispersion of passive tracers in a porous geometry, beyond the simple random lattice description. We consider here the role of recirculation zones of the flow field which is somewhat intermediate between pure geometric dispersion and hold-up dispersion in stagnant zones. We illustrate the problem by proposing a scaling analysis of the dispersion in a convective pattern of rolls in the absence of D.C flow.

Fractals and percolation in porous media and flows

Abstract We review a body of recent work, related to the research interests of our group, on the channel structure of disordered porous media, or fractured systems, where concepts of percolation and fractal geometry have proved useful in characterizing, or explaining, features of the transport properties of single and multiphase flow, or of the “dynamics” of invasion percolation.

Physik der Fluide

Vom mikroskopischen Standpunkt aus betrachtet, kann die Physik der Fluide als ein Zweig der Thermodynamik begriffen werden. Die klassische Thermodynamik behandelt die Gleichgewichtszustande reiner Substanzen — Festkorper, Flussigkeiten und Gase — sowie die Zustandsanderungen zwischen diesen Phasen. Eine erste Erweiterung besteht in der Untersuchung der Fluktuationen in unmittelbarer Nahe eines Gleichgewichtszustandes: Die Fluktuationen sind charakteristisch fur diesen Zustand, enthalten aber zusatzlich auch Informationen uber die rucktreibenden Mechanismen ins Gleichgewicht. So gibt es fur ein physikalisches System mit sehr vielen Teilchen, das sich „ein klein wenig” von seinem Gleichgewichtszustand entfernt hat, einfache Proportionalitatsbeziehungen zwischen dem Flus, der das System ins Gleichgewicht zurucktreibt, und der Grose der Schwankung.

Strömungen bei kleinen Reynolds-Zahlen

Stromungen bei kleinen Reynolds-Zahlen- der Begriffwurde im zweiten Kapitel eingefuhrt — sind dadurch charakterisiert, das die Einflusse der Viskositat groser sind als diejenigen Einflusse, welche mit der Tragheit zusammenhangen. Die Stokessche Gleichung, die diese Stromungen beschreibt, ist linear, da der nichtlineare konvektive Term (v • grad) v vernachlassigt werden kann. Bei parallelen Stromungen, die wir im 4. Kapitel behandelt haben, verschwand der konvektive Term identisch; im gegenwartigen Kapitel tritt er nur als Storung auf. Wir geben zunachst ein paar Beispiele fur Stromungen dieses Typs (§ 8.1). Im zweiten Abschnitt untersuchen wir dann einige allgemeine Eigenschaften (Reversibilitat, Additivitat, minimale Dissipation), die aus der linearen Form der Stokesschen Gleichung folgen und den Ausgangspunkt zum Auffinden einfacher Losungen bilden; diese Eigenschaften unterscheiden diese Stromungen von denjenigen bei grosen Reynolds-Zahlen. Stromungen um kleine Gegenstande (oder die Bewegungen dieser Gegenstande in einem ruhenden Fluid) bilden eine wichtige Klasse von Anwendungen, die im 3. Abschnitt behandelt werden. Die Stromung um eine Kugel (das Stokessche Problem) ist ein besonderes Beispiel, dessen Losung einige Schwierigkeiten aufweist (§ 8.4). Die Schmierstromungen von dunnen Filmen mit freien Oberflachen oder zwischen Festkorpern wird im 5. Abschnitt behandelt. Zum Abschlus betrachten wir noch das Verhalten von vielen Teilchen in Losung (Suspension) (§ 8.6) und die Bewegung eines Fluids um feste Strukturen von Teilchen (porose Umgebungen) (§ 8.7).

Die lokalen Gleichungen der Fluiddynamik

Nachdem wir im vorigen Kapitel die Deformationen eines stromenden Fluids betrachtet haben, werden wir nun untersuchen, wie man diese Deformationen durch Anwendung von Spannung (ausere Krafte, Druck,) erzeugen kann. In der Festkorpermechanik gibt es eine Proportionalitatsrelation zwischen den Deformationen und den Spannungen, solange diese klein sind. Diese Beziehung wurde zuerst von Robert Hooke formuliert, der vor drei Jahrhunderten das Gesetz in der Form ut tensio, sic vis („wie die Verformung, so die Kraft”) ausdruckte. Die entsprechende Relation fur zahe Fluide, sie wird Newton zugeschrieben, beschreibt die Proportionalitat zwischen den Geschwindigkeiten der Deformationen, die in Kapitel 3 eingefuhrt wurden, und den Spannungen: Dieses Gesetz last sich auf Stromungen bei kleinen Reynolds-Zahlen und auf sogenannte Newtonsche Fluide anwenden. In diesem Kapitel werden wir zunachst (§4.1) die Oberflachenkrafte beschreiben, die auf ein materielles Fluidelement wirken (Druckkrafte und Reibungskrafte). Danach (§ 4.2) leiten wir die Bewegungsgleichung (die Navier-Stokes-Gleichung) eines Fluids ab. Sie ist auch gultig, wenn der Einflus der Viskositat des Fluids nicht vernachlassigt werden kann (reale Fluide). Anschliesend (§ 4.3) diskutieren wir die Randbedingungen an den Grenzen des stromenden Fluids. Wir untersuchen schlieslich (§ 4.4) einige Stromungen mit einfacher Geometrie: Bei diesen verschwinden im allgemeinen aus geometrischen Grunden die Terme der konvektiven Beschleunigung (v • grad) v, die im 3. Kapitel eingefuhrt wurden.

Impulsdiffusion und Strömungsbereiche

Im vorhergehenden Kapitel haben wir gesehen, wie Warme oder Materie sich durch Diffusion ausbreiten. Der Warmeflus oder der Massenflus sind in diesem Fall proportional zum Gradienten der sich ausbreitenden Grose (Temperatur oder Konzentration). Die Richtung des Flusses ist so, das der Gradient dabei abnimmt. Eine andere (oft viel effektivere) Form des Transports von Warme oder Materie ist die Konvektion durch eine Stromung: In einem Bereich schneller Stromung bewegt sich in diesem Fall ein Farbfleck im Mittel mit der Geschwindigkeit des Fluids (und verbreitert sich gleichzeitig durch molekulare Diffusion oder aufgrund des Geschwindigkeitsgradienten).

Kinematik der Fluide

Dieses Kapitel ist dem Studium der Bewegungsformen eines Fluids gewidmet, insbesondere seinen Deformationen, ohne jedoch auf die Ursachen einzugehen, die im anschliesenden Kapitel untersucht werden. Wir beginnen mit einigen Grundlagen zur Beschreibung der Fluidbewegungen (§3.1) (Definition der Geschwindigkeit eines Fluidteilchens, Eulersche und Lagrangesche Beschreibung, Beschleunigung, charakteristische Linien in einer Stromung). Danach untersuchen wir die Deformationen eines Fluids (§ 3.2). Dabei werden sich viele Analogien zu den Deformationsproblemen in der Festkorpermechanik finden. Im folgenden Abschnitt (§ 3.3) begrunden wir die Massenerhaltungsgleichung und die Inkom-pressibilitatsannahmefur ein Fluid (diese Bedingung wird das ganze Buch hindurch erfullt sein). Wir werden in diesem Zusammenhang ebenfalls verschiedene Analogien zum Elektromagnetismus andeuten, die in den folgenden Kapiteln prazisiert werden. In Abschnitt(§ 3.4) fuhren wir die Stromfunktion fur planare und axialsymmetrische Stromungen ein und betrachten einige Beispiele planarer Stromungen sowie die zugehorigen Formen der Stromlinien. Wir beschliesen (§ 3.5) dieses Kapitel mit der Beschreibung verschiedener experimenteller Methoden zur Messung von Geschwindigkeit und Geschwindigkeitsgradienten einer Fluidstromung.

Wirbeldichte und Wirbeldynamik

Bei der Untersuchung der Deformationen eines Flussigkeitselements in Kapitel 3 (§ 3.2) fanden wir einen lokalen Rotationsterm, der dem antisymmetrischen Anteil des Geschwindigkeitsgradiententensors entspricht. Der zugehorige lokale Vektor der Rotationsgeschwindigkeit ist gleich der Halfte der Wirbeldichte, die wir als die Rotation des Geschwindigkeitsfeldes definiert hatten. Somit ist die Wirbeldichte ganz besonders zur Beschreibung der lokalen Rotationsbewegungen im Inneren eines Fluids geeignet; sie kann in bestimmten Fallen im Raum lokalisiert sein, wie bei Wirbeln, oder auch kontinuierlich im Raum verteilt, wie bei einem sich gleichformig drehenden Fluid.