Jeanne Peiffer

Die Entstehung der klassischen Algebra

Ursprunglich unterschied sich die Algebra nur wenig von der ihrerseits noch schwach entwickelten Arithmetik. Lange bevor der Name Algebra auftauchte, existierten schon einige einfache Rezepte, die ansatzweise eine Technik zur Losung praktischer Probleme beinhalteten.

Ein Moment der Rationalität: Griechenland

In den griechischen Stadten Kleinasiens entstand im 6. Jahrhundert v.Chr. eine Form des abstrakten Denkens, die zur Quelle fur die gesamte abendlandische Wissenschaft werden sollte. Sowohl die Anfange der Philosophie als auch die der deduktiven Wissenschaft haben sich im kleinasiatischen Milet entwickelt, einer machtigen Handelsstadt, die Schnittpunkt zwischen Orient und Abendland und zugleich ein bedeutendes intellektuelles Zentrum war. Wenn man alteren Darstellungen folgt, konnte man glauben, das das rationale Denken plotzlich dem Nichts entsprungen sei und das die ionischen Philosophen einen Weg eroffnet haben, dem die Wissenschaft seither nicht umhin konnte zu folgen.1) Neuere Arbeiten, wie beispielsweise die von J.-P. Vernant und M. Detienne, auf die wir uns hier stutzen, haben gezeigt, das die ionische Philosophie einen mythischen und rituellen Ursprung hatte; sie hat sich erst nach und nach von Magie und Religion befreit. Die fruhe griechische Wissenschaft stellte Fragen nach den Anfangen der Welt und versuchte, Antworten auf die Grundfrage menschlichen Denkens zu formulieren: Wie konnte unser Universum aus dem Chaos entstehen? Die ersten Versuche einer Antwort durch die Mileter ubertrugen die Erklarungen, die die alten Mythologien fur die wahrnehmbare Welt gegeben hatten, auf eine abstrakte Ebene.

Neue Objekte, neue Gesetze und die Entstehung der algebraischen Strukturen

Fur Gymnasiasten und Studenten des ausgehenden 20. Jahrhunderts bilden die mengentheoretischen Begriffe und die einfachen algebraischen Strukturen (wie Gruppe, Ring, Korper und Vektorraum) einen Bestandteil des seit Beginn der Sekundarstufe II gelehrten mathematischen Stoffes. Dennoch sind diese Strukturen, von denen einige absolut fundamental und in allen Bereichen der Mathematik anzutreffen sind, nur sehr langsam im Verlauf des 19. Jahrhunderts in den Vordergrund getreten, und zwar im Zuge der Untersuchungen recht komplexer Probleme (komplex verglichen mit denen, die der Leser gewohnt ist).

Im Schnittpunkt von Algebra, Analysis und Geometrie — die komplexen Zahlen

Die komplexen Zahlen bilden einen einfachen mathematischen Gegenstand, der in vielen Teilgebieten der Mathematik prasent ist. Die Geschichte der komplexen Zahlen, die wir hier darstellen wollen, wirft eine Reihe erkenntnistheoretischer Fragen auf. Tatsachlich stellten sich im Zusammenhang mit den komplexen Zahlen, die als erster mathematischer Gegenstand aus einer abstrakten Konstruktion hervorgegangen sind, Existenz- und Statusprobleme. Wie last sich die Realitat der komplexen Zahlen begrunden?

Die Mathematik im Zusammenhang der kulturhistorischen Entwicklung

Die beiden altesten Kulturen des Altertums, die uns so viel Material hinterlassen haben, das wir mit einiger Sicherheit ihre mathematischen Kenntnisse analysieren konnen, waren die babylonische und die agyptische Kultur.

Der Grenzwert: Vom Undenkbaren zum Begriff

Die Wurzeln der Infinitesimalrechnung liegen in den intuitiven Vorstellungen, die die Griechen von Begriffen wie Kontinuum, mathematisches Unendliches und Grenzwert hatten, sowie in deren Schwierigkeiten, diese Begriffe explizit zu formulieren. Alle drei Begriffe wurden erst im 19. Jahrhundert korrekt definiert, als die Mathematiker, in dem Wunsch die erreichten Fortschritte zu systematisieren, sich wieder den Grundlagen der Mathematik zuwandten, um das Gebaude der Mathematik auf ein sicheres Fundament zu stellen.

Der Funktionsbegriff und die Entwicklung der Analysis

Die Idee einer Relation zwischen zwei Grosen ist so alt wie die Mathematik selbst. Wie aber sah der Weg aus, der von dieser vagen Vorstellung zu unserem mengentheoretisch gepragten Begriff einer Funktion oder einer Abbildung gefuhrt hat? Letztere ist charakterisiert dadurch, das sie jedem Element einer Menge ein Element einer anderen Menge zuordnet. Und wie sahen die verschiedenen Formen aus, die der Funktionsbegriff angenommen hat, jener Begriff, der seinerseits die Entwicklung der Analysis beherrscht hat?

Figuren, Räume und Geometrien

Die Entstehung der Geometrie scheint direkt mit den Bedurfnissen des taglichen Lebens verbunden gewesen zu sein: Herstellung und Verzierung von Gegenstanden, Errichten von Gebauden und Grabmalern, Flachenberechnung von Feldern usw. Das last sich jedenfalls aus den uns verfugbaren altesten Dokumenten schliesen (Keilschrifttafeln aus Babylon, agyptische Papyri).