Jens Piontkowski

On the Number of Cusps of Rational Cuspidal Plane Curves

A cuspidal curve is a curve whose singularities are all cusps, i.e., unibranched singularities. This article describes computations that lead to the following conjecture: A rational cuspidal plane curve of degree greater than or equal to six has at most three cusps. The curves with precisely three cusps occur in three series. Assuming the Flenner–Zaidenberg rigidity conjecture, the above conjecture is verified up to degree 20.

Developable Varieties of Gauss rank 2

We classify projective varieties whose Gauss map has a two dimensional image. A global geometric description of the seven types is given.

Die Klassenzahl quadratischer Zahlkörper

Ziel des Abschnittes ist es, einen Algorithmus zu entwickeln, mit dem wir ein Reprasentantensystem der Idealklassengruppe eines quadratischen Zahlkorpers bestimmen konnen. Dazu bringen wir zunachst die ganzen Ideale von ℴ K in eine Normalform.

Die Struktur der Einheitengruppen Un

Nachdem wir im letzten Abschnitt samtliche endlichen abelschen Gruppen kennengelernt haben, stellt sich naturlich die Frage, welche Struktur die Gruppe Un hat. Wegen des chinesischen Restsatzes in der Form von Lemma 5.13 konnen wir uns auf den Fall n =pr beschranken. Wir werden zeigen, dass alle diese Gruppen Upr zyklisch sind — mit Ausnahme der U 2r fur r≥3.

Die Ringeℤ/nℤ

In diesem Abschnitt wollen wir die Ergebnisse des letzten abstrahieren und vertiefen. Wir starten mit der folgenden offensichtlichen Bemerkung.

Teilertheorie im Ring ganzer Zahlen

In diesem Abschnitt wollen wir die Einheiten des Ringes ganzer Zahlen eines Zahlkorpers bestimmen — oder zumindest Aussagen uber die Struktur dieser Gruppe machen. Wir werden das fur quadratische Zahlkorper genau durchfuhren und die Ergebnisse uber beliebige Zahlkorper zitieren.

Endlich erzeugte abelsche Gruppen

In den letzten Abschnitten haben wir die Ringe ℤ und ℤn ℤ kennengelernt, in diesem Abschnitt betrachten wir nur noch ihre additive Gruppenstruktur. Ziel des Abschnittes ist es zu zeigen, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ein direktes Produkt aus diesen Gruppen ist. Starten wir mit einigen Definitionen.

p –adische Zahlen

Im Abschnitt 8 haben wir quadratische Gleichungen im Korper 𝔽p=𝔽/p𝔽gelost.Wie kann man Gleichungen in den Ringen 𝔽/p k𝔽,die ja noch nicht einmal Integritatsringe sind, losen?

Tangent and Secant Varieties

Natural examples for varieties swept out by linear spaces are the tangent and secant variety of an arbitrary variety, i.e. the unions of tangents and secants. The contributions of F.L. Zak have brought dramatic progress in this very classical part of projective algebraic geometry. Our last chapter is devoted to this topic and will lead to open questions.

Review from Classical Differential and Projective Geometry

In this introductory chapter we recall some fairly well known facts about surfaces in “three-space”. The classical literature does not make careful distinctions between the different kinds of three-spaces. Nowadays, we are urged to be more precise: we start in the real affine space ℝ3 and end up in complex projective space ℙ3(ℂ). The reader will notice that we try to avoid all kinds of parameterizations by arc length and other typical C∞-arguments since they cannot be generalized to the holomorphic case.