Jochen W. Schmidt

Positivity of cubic polynomials on intervals and positive spline interpolation

A criterion for the positivity of a cubic polynomial on a given interval is derived. By means of this result a necessary and sufficient condition is given under which cubicC1-spline interpolants are nonnegative. Further, since such interpolants are not uniquely determined, for selecting one of them the geometric curvature is minimized. The arising optimization problem is solved numerically via dualization.

Positive interpolation with rational quadratic splines

A necessary and sufficient criterion is presented under which the property of positivity carry over from the data set to rational quadratic spline interpolants. The criterion can always be satisfied if the occuring parameters are properly chosen.ZusammenfassungUnter positiver Interpolation wird die Aufgabenstellung verstanden, zur einer nichtnegativen Datenmenge nichtnegative Interpolierende zu konstruieren. Im Fallen rational-quadratischer Splines wird eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Durchführbarkeit positiver Interpolation hergeleitet, und es wird gezeigt, daß diese sich bei passender Wahl der vorkommenden Parameter stets erfüllen läßt.

On the R-order of coupled sequences

The R-order of sequences, coupled by a system (1) of difference inequalities, is shown to be at least equal to the spectral radius of the matrix of the exponents if a positive eigenvector belonging to the spectral radius exists.ZusammenfassungFür Folgen aus einem iterativen Näherungsverfahren, die einem mit Hilfe von Potenzfunktionen beschreibbaren System von Ungleichungen genügen, wird gezeigt, daß ihre R-Ordnung mindestens gleich dem Spektralradius der Matrix aus den Exponenten ist, sofern ein zum Spektralradius gehörender Eigenvektor mit ausschließlich positiven Komponenten existiert.

Eingrenzung von Lösungen mit Hilfe der Regula falsi

ZusammenfassungEs werden Verfahren vom Typ der Regula falsi für Gleichungssysteme betrachtet und mit ihrer Hilfe Folgen von unteren und oberen Schranken für eine Lösung des Systems gewonnen. Es wird gezeigt, daß die Folgen monoton konvergieren und ihre Konvergenzgeschwindigkeit überlinear ist.SummaryWe consider Regula-falsimethods applied to systems of equations in order to obtain sequences of upper and lower bounds for the solution of the system. It is shown that the sequences converge monotonously and the speed of convergence is better than linear.

Ableitungsfreie Verfahren mit höherer Konvergenzgeschwindigkeit

ZusammenfassungFür Gleichungen in mehrdimensionalen Räumen werden Klassen von ableitungsfreien Verfahren angegeben, welche in der Durchführung allein Steigungen erster Ordnung benötigen. Ein Iterationsschritt besteht ausk Stufen, wobei die einzelnen Stufen die Anwendung der vereinfachten Regula falsi bedeuten. Es ergibt sich, daß sich das Maximum des Wirkungsgrades mit wachsender Dimension zu den größerenk-Werten hin verschiebt. Die Konvergenz der Verfahren wird für einfache Nullstellen und hinreichend gute Startwerte nachgewiesen.SummaryFor equations in spaces of several dimensions classes of methods not involving derivatives are given which require only first-order divided differences. One interation step consists ofk stages each of them meaning the application of the modified regula falsi. The maximum of the efficiency index is shown to shift to greater values ofk with increasing dimension. The convergence of the methods is proved for simple zeros and sufficiently good initial values.

Powell-Sabin splines in range restricted interpolation of scattered data

The construction of range restricted bivariateC1 interpolants to scattered data is considered. In particular, we deal with quadratic spline interpolation on a Powell-Sabin refinement of a triangulation of the data sites subject to piecewise constant lower and upper bounds on the values of the interpolant. The derived sufficient conditions for the fulfillment of the range restrictions result in a solvable system of linear inequalities for the gradients as parameters, which is separated with respect to the data sites. Since there exists an infinite number of spline interpolants meeting the constraints, the selection of a visually pleasant solution is based on the minimum norm modification of a suitable initial interpolant or on the minimization of the thin plate functional. While the first proposal reduces to the solution of independent local quadratic programs, the second proposal results in a global quadratic optimization problem.ZusammenfassungBehandelt wird die Interpolation unregelmäßig verteilter Daten durch quadratische Powell-Sabin-Splines, wobei stückweise konstante obere und untere Schranken für die Funktionswerte der Interpolierenden vorgegeben sind. Die hergeleiteten hinreichenden Bedingungen für die Einhaltung der zweiseitigen Schranken ergeben ein lösbares lineares Ungleichungssytem für die Gradienten als Parameter, welches bezüglich der Datenpunkte separiert ist. Die Auswahl von visuell gefälligen Interpolierenden erfolgt durch die Minimierung geeigneter Funktionale.

Eingrenzung von Lösungen nichtlinearer Gleichungen durch Verfahren mit höherer Konvergenzgeschwindigkeit

ZusammenfassungEs wird gezeigt, daß das IterationsverfahrenF (xn)+δF (xn,xn−1) (yn−xn)=0,F (xn)+δF (yn,xn) (xn+1−xn)=0 unter bestimmten Voraussetzungen eine Nullstellex* des OperatorsF monoton einschließt,yn≦yn+1≦x*≦xn+1≦xn, und daß die Folge (xn) mit der Geschwindigkeit 1 + ≈ 2,4 gegenx* konvergiert.SummaryThe iterative methodF (xn)+δF (xn,xn−1) (yn−xn)=0,F (xn)+δF (yn,xn) (xn+1−xn)=0 generating sequences (xn) and (yn) is considered in partially ordered spaces. Under certain conditions it is shown, that a zerox* of the operatorF is monotonously enclosed in the senseyn≦yn+1≦x*≦xn+1≦xn and that (xn) converges tox* with the speed 1 + ≈ 2,4.

Scattered data interpolation subject to piecewise quadratic range restrictions

Abstract The constriction of range restricted univariate and bivariate C1 interpolants to scattered data is considered. In particular, we deal with quadratic spline interpolation on a refined univariate grid (respectively on a Powell-Sabin refinement of a triangulation of the data sites) subject to piecewise quadratic lower and upper obstacles to the values of the interpolant. The derived sufficient conditions for the fulfillment of the range restrictions result in a system of linear inequalities for the slopes (respectively gradients) as parameters, which is separated with respect to the data sites. This system is shown to be always solvable for important special forms of the obstacles. If at all, in general there exist an infinite number of spline interpolants meeting the constraints. The selection of a visually pleasant one is based on the minimization of a suitable choice functional.

Shape preserving histopolation using rational quadratic splines

In this paper the area true approximation of histograms by rational quadraticC1-splines is considered under constraints like convexity or monotonicity. For the existence of convex or monotone histosplines sufficient and necessary conditions are derived, which always can be satisfied by choosing the rationality parameters appropriately. Since the mentioned problems are in general not uniquely solvable histo-splines with minimal mean curvature areconstructed.ZusammenfassungGegenstand der Arbeit ist die flächentreue Approximation von Histogrammen durch rational-quadratischeC1-Splines unter Zusatzbedingungen wie Konvexität oder Monotonie. Für derartige Aufgaben werden hinreichende und notwendige Existenzbedingungen in algorithmischer Form angegeben, und es ergibt sich, daß sich diese Bedingungen bei konvexen oder monotonen Histogrammen durch passende Wahl der Rationalitätsparameter stets erfüllen lassen. Da die genannten Aufgaben, sofern überhaupt, im allgemeinen nicht eindeutig lösbar sind, werden Histosplines mit minimaler Gesamtkrümmung ermittelt.

Convexity preserving interpolation with exponential splines

Sufficient and necessary conditions are derived under which interpolating splines are convex if the data set is in convex position. In order to select one of the interpolants, by means of a well-known objective function a quadratic optimization problem is stated which can be solved effectively by passing to a dual program.ZusammenfassungWährend die Aufgabe der konvexen Interpolation im Falle kubischer Splines im allgemeineen nicht lösbar ist, kann jetzt gezeigt werden, daß sie bei Verwendung von Exponentialsplines Lösungen besitzt sofern die vorkommenden Parameter hinreichend roß sind, und es werden konkrete hinreichende und notwendige Lösbarkeitsbedingungen hergeleitet. Da eindeutige Lösbarkeit in der Regel nicht vorliegt, wird eine Auswahlfunktion eingeführt und das entstehende quadratische Optimierungsproblem nach Dualisierung numerisch behandelt.