Johann Schröder

Reduktionsverfahren für Differenzengleichungen bei Randwertaufgaben I

SummaryThis paper describes a fast and numerically stable method for solving the discrete Dirichlet problem for Poissons equation in case of a rectangle (and mainly, a square). By using a special calculus for difference operators, the system of linear equations is reduced to a block-triangular system such that the diagonal blocks are heavily diagonally dominant. For a standard version of the algorithm, the number of operations and the computing time are proportional toh−2 (h=mesh width). The method is one oftotal reduction compared with the method ofblock-cyclic reduction (odd-even reduction) [2], which we describe as a method ofpartial reduction.—Due to the developed calculus, many generalizations are possible.—In a following part II of the paper, the algorithm and numerical results will be described in detail.

Fehlerabschätzung bei linearen Gleichungssystemen mit dem Brouwerschen Fixpunktsatz

ZusammenfassungDie in den §§ 2 und 3 formulierten Ergebnisse enthalten u. a. Fehlerabschätzungen folgender Art:a)Abschätzung des Fehlers u*−u1 einer Näherung u1= Tu0, ausgehend von Schranken für die Änderung u1−u0, also Fehlerabschätzungen für das Iterationsverfahren un+1 = Tun(n = 0, 1, 2,...) (Nr. 2.4).b)Einschließung der Lösung zwischen Näherungsfolgen bei Iterationsverfahren mit monoton wachsendem oder fallendem Operator, ausgehend von einer Schachtelung der ersten Näherungen (Nrn. 2.2 und 2.3).c)Abschätzung des Fehlers u* — u0 einer Näherungslösung u0, ausgehend von Schranken für den Defekt d=−Gu0+r (Nr. 3.2). Zur praktischen Anwendung der Ergebnisse auf ein gegebenes Gleichungssystem Gu =r hat man zunächst G in G = A−B mit regulärer Matrix A aufzuspalten und die Beziehung u≦v zu definieren. Es ist dann Tu=A−1Bu+−1r. Dabei ist auf folgendes zu achten:Die Matrix B soll möglichst „klein” gegenüber A sein (als notwendige Bedingung ist in allen Voraussetzungen enthalten, daß es einen Vektor z mit (6.1) bzw. (6.2) gibt).Bei Abschätzungen der Arten a) und b) soll A so einfach gebaut sein, daß man ein Gleichungssystem mit der Matrix A leicht lösen kann.Bei Abschätzungen der Art b) wird A−1B≧O bzw. A−1B≦O gefordert. (Für die beim Gesamtund Einzelschrittverfahren üblichen Aufteilungen sind in den Nrn. 4.2 und 5.2 verschiedene Fälle genannt, bei denen eine dieser Ungleichungen erfüllt ist.)Bei Abschätzungen der Art c) muß A−1≧O gelten, A kann dabei jedoch von komplizierterer Bauart sein. Hier sollte B≧O, jedenfalls aber B−möglichst klein sein.In den Voraussetzungen der Ergebnisse treten Vektoren auf, welche bestimmte Ungleichungen erfüllen sollen. Es seien zwei (allerdings eng zusammenhängende) Möglichkeiten genannt, solche Vektoren zu berechnen:1.Man benutzt die Relaxationsrechnung, ermittelt die gesuchten Vektoren also durch systematisches „Probieren”.— Bei b) geht man, um Vektoren x0, y0 der gewünschten Art zu bekommen, etwa von einer Näherungslösung u0 aus, bringt Änderungen an und beobachtet deren Wirkung. Bei a) und c) kann man z. B. mit ν = w = o beginnen.2.Man macht für die gesuchten Vektoren einen Parameter enthaltenden Ansatz und bestimmt die Parameter so, daß die jeweiligen Forderungen erfüllt sind. Bei b) kann der Ansatz z.B.

Proving inverse-positivity of linear operators by reduction

x_{\text{0}} = u_{\text{0}} - \delta \bar v,{\text{ }}y_{\text{0}} = u_{\text{0}} + \varepsilon \bar w

Über das Newtonsche verfahren

lauten, mit einer Näherungslösung u0, festen Vektoren

Fehlerabschätzung mit Rechenanlagen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung

\bar v,{\text{ }}\bar w

Monotonie-eigenschaften bei differentialgleichungen

und Parametern δ, ɛ. Bei a) und c) setzt man etwa an: