Johannes C. C. Nitsche

On the boundary behavior of minimal surfaces with a free boundary which are not minima of the area

The well known boundary regularity results of H. Lewy and W. Jäger for area minimizing minimal surfaces with a free boundary are shown to be true also for minimal surfaces which are only stationary points of the Dirichlet integral with respect to a given boundary configuration.

Optimal boundary regularity for minimal surfaces with a free boundary

Let x(w), w=u+iv ∈ B, be a minimal surface in ℝ3 which is bounded by a configuration 〈Γ, S〉 consisting of an arc Γ and of a surface S with boundary. Suppose also that x(w) is area minimizing with respect to 〈Γ, S〉. Under appropriate regularity assumptions on Γ and S, we can prove that the first derivatives of x(u, v) are Hölder continuous with the exponent α=1/2 up to the “free part” of ∂B which is mapped by x(w) into S. An example shows that this regularity result is optimal.

Periodic Surfaces That are Extremal for Energy Functionals Containing Curvature Functions

The following investigation is an expanded version of the author’s lecture at the IMA-Workshop “Statistical Thermodynamics and Differential Geometry of Micro-Structured Material”, January 23, 19911.

Plateau's Problems and their Modern Ramifications

Todays special session within the National Meeting of the American Chemical Society is held in honor of Joseph-Antoine-Ferdinand Plateau whose magnum opus, Statique experimentale et theorique des liquides soumis aux seules forces moleculaires, was published a century ago, in 1873. This book, in the main unifying the contents of a series of eleven long scientific papers which appeared during the period 1843-1869, may be described as the condensation of Plateaus experimental observations and measurements regarding the phenomena caused by capillary forces. It contains a complete historical account and a summary of theoretical insights as well. The books impact on its contemporaries and on subsequent generations cannot be exaggerated. His reports were studied in many quarters. His experiments were repeated by many scientists, among them Faraday, Brewster and Boys. In present days Plateaus work has become rather lost in obscurity. Surface chemists who, with a few notable exceptions, now often shun the use of mathematical approaches, are generally content with a brief reference to Plateau in their text books, and it is really in mathematics where his name lives on.

Isoptic Characterization of a Circle (Proof of a Conjecture of M. S. Klamkin)

Note that Theorem 2 implies that the L4 norm of the (n 1)st-degree Shapiro polynomial is asymptotic to xn times the fourth root of 4/3 = 1.07457Fn. Based upon extensive numerical evidence employing the Bose-Einstein statistics methodology of statistical mechanics, we conjecture that the Shapiro polynomials do not give the minimum L4 norm among all polynomials of the same degree with coefficients + 1, but that this minimum L4 norm is asymptotically xn times the fourth root of 6/5 = 1.04664Fn . Observe that the truth of this conjecture would imply that of the Erdos conjecture mentioned earlier, with c = (6/5)1/41 = .04664.

Konforme Abbildung von Minimalflächen

In diesem und in den folgenden Paragraphen 121–131 ist angenommen, das die Minimalflache S in der nichtparametrischen Darstellung {z = z (x, y); (x, y) ∈ P} vorliegt, wobei P ein den Nullpunkt enthaltendes beschranktes oder unbeschranktes konvexes Gebiet in der (x, y)-Ebene ist.

Hilfssätze der Analysis

In den bisherigen Ausfuhrungen haben wir uns des ofteren auf Tatsachen aus Analysis, Geometrie und Topologie berufen, welche als grundsatzlich bekannt vorausgesetzt werden durften, so das bei ihrer Benutzung blose Feststellungen oder Hinweise auf die einschlagige Literatur haufig ausreichten. Im Nachfolgenden benotigen wir nun eine Reihe weiterer spezieller Resultate hauptsachlich aus den Gebieten der reellen Analysis und der Topologie der Punktmengen. Obwohl diese alle — meistens handelt es sich um Spezialfalle allgemeiner Satze — prinzipiell aus der vorhandenen Literatur herausgelesen werden konnen, so bereitet es doch oft erhebliche Schwierigkeiten, fur die Hilfssatze in der genauen hier benotigten Form ein Literaturzitat anzugeben. Da uberdies der Leser dieses Buches moglicherweise nicht mit allen diesen Dingen vertraut ist, so erscheint es als ratsam, die spater erforderlichen Tatsachen in diesem Kapitel zusammenzustellen, und zwar grostenteils mit ihren vollstandigen Beweisen, welche oft viel kurzer sind als die Beweise derselben Tatsachen in ihrer allgemeinsten Gultigkeit. Eine systematische Lekture ist nicht unbedingt erforderlich. Der Leser wird vielmehr von Fall zu Fall hierher zuruckkommen.

Kurven und Flächen

Eine Parameterkurve oder kurz Kurve C im dreidimensionalen Euklidischen Raum ist die durch einen reellwertigen stetigen nicht identisch konstanten Vektor x (t) = {x (t), y (t), z (t) } vermittelte Abbildung eines Intervalles a ≦ t ≦ b in diesen Raum. Diese Abbildung braucht keineswegs eineindeutig zu sein; wenn sie es aber ist, dann spre-chen wir von einer einfachen Kurve oder einem Jordanbogen. Offensichtlich gibt es unendlich viele andere Abbildungen, welche unsere Anschauung als Darstellung derselben Kurve anzusprechen wunscht. Dieser Umstand kann folgendermasen prazisiert werden. Gegeben seien zwei Kurven C1 = {x = x1 (t) ; a1 ≦ t ≦ b1} und C2 = {x = x2 (t) ; a2 ≦ t ≦ b2}. Es sei τ(t) eine topologische Abbildung des Intervalls [a1, b1] auf das Intervall [a2, b2]und Mτ = \( \mathop{{max}}\limits_{{{{a}_{1}} \leqq t \leqq {{b}_{1}}}} \) |x1(t) — x2(τ(t))|. Die untere Grenze der Zahlen M τ fur alle moglichen solche Homoomor-phismen τ (t) wird mit ||C1, C2|| bezeichnet und heist der Abstand im Sinne von M. Frechet ([1]; [I], pp. 92, 154) der beiden Abbildungen oder Kurven. Zwei Abbildungen mit verschwindendem Frechetschen Abstand werden als identisch angesehen, und wir haben oben dann lediglich zwei verschiedene Darstellungen derselben Kurve. Mit anderen Worten: Die Gleichungen {x = x1 (t) ; a1 ≦ t ≦ b1} und {x = x2 (t) ; a2 ≦ t ≦ b2}, werden als Darstellungen derselben Kurve betrachtet, wenn es zu jedem e > 0 eine topologische Abbildung τ = τ (t) des Intervalles [a1, b1] auf das Intervall [a2, b2] gibt, so das \( \mathop{{max}}\limits_{{{{a}_{1}} \leqq t \leqq {{b}_{1}}}} \) |x1(t) — x2(τ(t))| < e ausfallt. Genau gesprochen erscheint eine Kurve also als maximale Klasse Frechet-aquivalenter Abbildungen.

Lehrsätze und Aufgaben

Das vorliegende Kapitel besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil enthalt eine Zusammenstellung von Bemerkungen, Lehrsatzen und Erganzungen, welche aus Platzgrunden nicht in den fortlaufenden Text des Buches aufgenommen werden konnten. Der Leser wird ausgiebige Hinweise zur Literatur finden. Beweise sind aber oft nur angedeutet oder ganz unterdruckt worden. Die Bemerkungen sind in ihrer Reihenfolge der Stoffanordnung des Haupttextes lose angepast und dem bisherigen Gebrauche folgend wiederum durchparagraphiert. Der zweite Teil des Kapitels bringt als Anreiz fur den Leser eine Auswahl heute ungeloster Probleme und als lohnend erscheinender Aufgabenstellungen. Obwohl zwischen den einzelnen Aufgaben oft Zusammenhange bestehen, wie z. B. zwischen § 887 und § 898 oder § 946 und § 948, so ist dieses nicht immer ausdrucklich festgestellt. Abgesehen davon, das die Aufgaben ahnlich wie die Erganzungen angeordnet erscheinen, sind auch Ruckverweisungen auf den Haupttext sparlich gehalten. Fragestellungen aus Gebieten, in welchen sich die Forschung zur Zeit der Manuskriptniederschrift in regem Flus befand, sind i. a. beiseite gelassen worden. So findet man hier beispielsweise lediglich vier Aufgaben (§§ 889, 890, 924, 929) uber das Nichtauftreten von Verzweigungspunkten, drei Aufgaben (§§ 911, 912, 913) uber Aggregate von Minimalflachen und drei Aufgaben (§§ 915, 916, 917) uber Hindernisprobleme, obwohl es sich gerade bei diesen Gebieten auch jetzt noch um nahezu unaufgeschlossenes Neuland handelt.

Der Fragenkreis des Plateauschen Problems

Als Plateausches Problem bezeichnet man die Bestimmung einer von einer vorgegebenen Jordankurve Γ berandeten Minimalflache vom Typ der Kreisscheibe; siehe §§ 6, 42. In den Anfangen der Entwicklung bestand das Hauptanliegen der Mathematiker darin, eine explizite Darstellung der fraglichen Minimalflache zu gewinnen, oder zumindest Verfahren zu entwickeln, welche die explizite Bestimmung ermoglichen sollten. Im Hinblick auf die bizarre Gestalt mancher Konturen ist es verstandlich, das einem solchen Unterfangen i. a. kein Erfolg beschieden sein konnte. Es war erst notwendig, die Frage nach der Existenz einer Losung ganz von der Aufgabe ihrer expliziten Bestimmung zu scheiden, und den Existenzbeweis dahin zu spezialisieren, das nicht nach irgendeiner von Γ berandeten Minimalflache, sondern lediglich nach einer solchen mit absolut kleinstem Flacheninhalt gesucht wurde, ehe grundlegende Fortschritte erzielt werden konnten. In der Tat hat es bis ungefahr zum Jahre 1930 gedauert, bis das Plateausche Problem in zufriedenstellender Allgemeinheit behandelt worden ist. Bis zum letzten Drittel des neunzehnten Jahrhunderts war das Problem uberhaupt fur keine einzige nicht-ebene Kontur gelost worden, obwohl J. D. Gergonne [1] die Aufmerksamkeit der Mathematiker 1816 ausdrucklich auf derartige Aufgaben, insbes. auf die Bestimmung einer von einem windschiefen Vierseit und einer von der Schnittkurve zweier Kreiszylinder berandeten Minimalflache, hingelenkt hatte.