Jón Kr. Arason

Cohomologische invarianten quadratischer Formen

Es ist dabei e immer ein Homomorphismus und der Kern von e ist das maximale Ideal M(K) der Klassen gerade-dimensionaler Formen. d und c sind aber i.a. keine Homomorphismen. Es ist jedoch die Einschrankung d lM(k) ein Homomorphismus, dessen Kern das Quadrat M2(K) von M(K) ist, und die Einschrankung c jM2(k) ein Homomorphismus, dessen Kern die dritte Potenz M3(K) von M(K) enthalt. Insbesondere kiinnen diese Invarianten die lihnlichkeitsklassen hochstens dann (sogar genau dann, wie aus unserem Corollar 3.7 folgt) vollstandig charakterisieren, wenn M3(K) = 0 ist. Es stellt sich daher das Problem, weitere Invarianten zu finden. Sei jetzt KS ein separabler AbschluR von K, G = Gal(K,/K) die voile Galoisgruppe von K und H”(K, 2) := H”(G, Z/22). D ann ist HO(K, 2) = Z/Z& IP(K, 2) z Km/Keg und P(K, 2) g Br,(K). Als Zielgruppen weiterer Invarianten bieten sich daher die hijheren Cohomologiegruppen P(K, 2) an. Die StiefelWhitney Klassen von A. Delzant (siehe [l 1: §3J) liefern in der Tat Invarianten w,: M(K) + P(K, 2) fiir alle IZ. Diese sind aber leider nicht geeignet, das Problem der vollstandigen Charakterisierung der dhnlichkeitsklassen quadratischer Formen zu l&en, da z.B. alle wi (i > 0) auf M3(K) verschwinden, falls -1 in K ein Quadrat ist (siehe [ll, Lemma 3.21). In Analogie zu e, d JMk) und c JM2(k) kann man aber versuchen, allgemeiner Homomorphismen e

Rigid Elements, Valuations, and Realization of Witt Rings

: M”(K) -+ EP(K, 2) zu finden. In weiterer Analogie wiirde man dabei verlangen, dal3 e,” auf M”+l(K) verschwindet und da6 die

Über die Grade quadratischer Formen

to the theory over the residue class field of the valuation. This theorem generalizes to any 2-henselian valuation (cf. [Kl, Sect. 12.21). Let v be the valuation. Let a E k := F\{O 1 be such that v(a) is not divisible by two. The key idea behind the proof is that the quadratic form (1, a} only represents elements in % u a%. Such an element a is called

On quadratic forms and Galois cohomology

Sei q> eine quadratische Form uber einem Korper K einer Charakteristik + 2, die wir stillschweigend stets als nicht ausgeartet voraussetzen. Ist q> nicht hyperbolisch, so betrachten wir zu allen Korpererweiterungen L von K in einem Universalkorper, fur die . Einer hyperbolischen Form ordnen wir den Grad oo zu. Der Grad von q> hangt ersichtlich nur von der Klasse {<p} von cp im Wittring W(K) ab. Wir haben also eine numerische Funktion

The Witt ring of an elliptic curve over a local field

Witt rings. Specifically, suppose there is a morphism of abstract Witt rings W F —> R. Does there exist a field extension K of F such that WK ~ R and the given morphism corresponds to %KjF W F —> WK? A classical example is the case R ~ Z . Then K can be chosen to be a real closure of F relative to the ordering induced by the morphism. Unfortunately, the answer is in general negative. But in the important case when W F = R x S in the category of abstract Witt rings and the morphism is the projection map, we have a positive result. In [7] we extend the work of [18] and [30] on valuations and use this extension to show THEOREM 8. Let (j> : W F^RxS be an isomorphism of abstract Witt rings and let 7r : R x S —> R be the projection. Assume that R is not basic (i.e., R is a group Witt ring over a subring). Then there exists a 2-extension K of F and an isomorphism ip : WK^R of abstract Witt rings such that the diagram WF — ^ RxS [ j * WK ——> R

Fields of cohomological 2-dimension three

J6n Kr. Arason l, Richard Elman z,*, Bill Jacob 3,* 1 Raunvisindastofnun Hfisk61ans, University of Iceland, Reykjavik, Iceland (e-mail: jka@rhi.hi.is) 2 Department of Mathematics, University of California at Los Angeles, Los Angeles, CA 90095, USA (e-mail: rse@math.ucla.edu) -~ Department of Mathematics, University of Califomiat, Santa Barbara, Santa Barbara, CA 93106, USA (e-mail: jacob@rnath.ncsb.edu)