Jürgen Herzberger

On the Convergence Speed of Some Algorithms for the Simultaneous Approximation of Polynomial Roots

This note gives an analysis of the order of convergence of some modified Newton methods. The modifications we are concerned with are well-known methods—a total-step method and a single-step methods—for refining all roots of an nth-degree polynomial simultaneously. It is shown that for the single-step method the R-order of convergence, used by Ortega and Rheinboldt in [6], is at least

Über Matrixdarstellungen für Iterationsverfahren bei nichtlinearen Gleichungen

2 + \sigma _n > 3

On the R -order of some recurrences with applications to inclusion-methods II

, where

Nullstelleneinschlieβung mit dem Newton-Verfahren ohne Invertierung von Intervallmatrizen

\sigma _n > 1

On the monotonicity of the interval versions of Schulz's method

is the unique positive root of the polynomial

Über die Nullstellenbestimmung bei näherungsweise berechneten Funktionen

p_n (\sigma ) = \sigma ^n - \sigma - 2

Verfahren höherer Ordnung zur iterativen Einschliessung der inversen Matrix

.

Remarks on the interval version of Schulz's method

ZusammenfassungIn dieser Note wird eine Matrixdarstellung für Iterationsverfahren zur Lösung nichtlinearere Gleichungen angegeben. Diese Darstellung umfaßt jene von Miranker [6] und Rice [8] angegebenen. Es wird ein Theorem elementar bewiesen, welches besagt, daß die Ordnung einer Klasse nichtlinearer Gesamt-und Einzelschrittverfahren gleich dem Spektralradius der Darstellungsmatrix ist. Die angegebene Matrixdarstellung ermöglicht besonders einfach die Untersuchung paralleler und serieller Iterationsverfahren, welche durch Interpolation unter Verwendung von Ableitungen gebildet werden. Sie läßt sich aber auch bei speziellen nichtlinearen Gleichungssytemen anwenden.AbstractThis note presents a matrix representation of iterative methods which is a generalization of those given by Miranker [6] and Rice [8]. It is based on an elementary theorem which show that the order of convergence of some nonlinear single-step and total-step methods is the spectral radius of a certain matrix. Thus a large class of iterative methods are easy to analyze especially such as: Hermiteinterpolatory methods, composite Hermite-interpolatory methods, several parallel methods and even special methods for systems of equations.

Zur Invertierung linearer und beschränkter Operatoren

In this paper we are considering some classes of recurrences. Estimates for theirR-order are derived. For this purpose we bound the real roots of certain sequences of polynomials. The results are then applied to the determination of efficient inclusion-methods by means of interval analysis.ZusammenfassungWir leiten hier Abschätzungen für dieR-Ordnung von gewissen Klassen von Rekrusionsfolgen her. Dazu werden Abschätzungen für die positiven Wurzeln bestimmter Polynomfolgen benötigt. Damit lassen sich dann effiziente Iterationsverfahren der Intervallrechnung bestimmen.

ALGOL-60 Algorithmen zur Auflösung linearer Gleichungssysteme mit Fehlererfassung

SummarySome extensions and modifications of the well-known Newton-method, developped during the last few years by means of interval arithmetic are yielding lower and upper bounds for the solution of a set of nonlinear equations. To have superlinear convergence behaviour it is necessary, in general, to invert intervalmatrices. In this note we give a modification converging superlinear, without the necessity of inverting matrices. Two numerical examples are given.ZusammenfassungVerschiedene Erweiterungen und Modifikationen des Newton-Verfahrens gestatten es, eine Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems imRn fortwährend einzuschließen [1, 7, 10]. Um bei diesen Verfahren überlineare Konvergenz zu erzielen, ist in jedem Iterationsschritt im allgemeinen eine Intervallmatrix zu invertieren. Es wird ein Verfahren angegeben, bei welchem diese Invertierung vermieden wird, ohne daß dabei die überlineare Konvergenz verlorengeht.