Jürgen Lehn

A gamma-minimax result in credibility theory

Abstract The statistical decision problem of experience ratemaking has been described by Buhlmann (1975) as a two-person game of the actuary (player 2) against (malevolent) nature (player 1). Within this framework premium calculation procedures are strategies of player 2 and some types of credibility formulae can be regarded as Bayesian strategies or in terms of statistical decision theory as (linear) Bayes estimators. Since the application of the Bayes principle of game theory to insurance ratemaking is not appropriate — usually the actuary has not enough information for identifying one single prior — it is quite natural to select a premium calculation procedure which is optimal according to the minimax principle of game theory or according to the so-called gamma-minimax principle. This principle is more adaptable than the minimax principle since it allows to take into account vague prior information. In this paper credibility formulae are derived which are gamma-minimax for special types of prior information similar to those in Buhlmanns paper.

A multiple recursive non-linear congruential pseudo random number generator

On-linear multiple recursive congruential pseudo random number generator with prime modulus p is introduced. Let x, n≥0, be the sequence generated by a usual linear (r+1)-step recursive congruential generator with prime modulus p and denote by N(n), n≥0, the sequence of non-negative integers with xN(n)≢0 (mod p). The non-linear generator is defined by zn≡xN(n)+1·xN(n)−1 (mod p), n≥0, where xN(n)−1 denotes the inverse element of xN(n) in the Galois field GF(p). A condition is given which ensures that the generated sequence is purely periodic with period length pr and all (p−1)r r-tupels (y1,...,yr) with 1≤y1,...,yr≤p are generated once per period when r-tupels of consecutive numbers of the generated sequence are formed. For r=1 this generator coincides with the generator introduced by Eichenauer and Lehn [2].

A Statistical Analysis of HGPRT-Test Data by Means of Computer Simulations

The Chemical Act first issued by the Federal Government of Germany in 1980 includes regulations in order to prevent mutagenic chemicals from becoming a risk for the population. Producers and distributors of chemicals must present data from mutagenicity tests showing that there is no measurable mutagenic potential. The Laboratory for Mutagenicity Testing (Laboratorium fur Mutagenitatsprufung = LMP) is routinely performing such tests for state administrations and industry under contract.

Schätzen und testen bei der regression

Wie im Kapitel 32 werden zweidimensionale Messreihen (x 1, y1),…, (x n, yn) und ein linearer Zusammenhang der Form Open image in new window mit unbekannten Parametern a und b fur die x- Werte und y- Werte angenommen. Den Untersuchungen wird folgendes Modell zu Grunde gelegt: x1,…, x n seien ohne Messfehler ermittelt und nicht alle gleich. y 1,…, yn seien zufallsabhangige Messwerte und Realisierung von Y 1,…, Yn, die als unabhangige, normalverteilte Zufallsvariablen mit E(Y i) = a · xi + b und Var (Yi) = δ2 , i = 1,… ,n, angenommen werden.

X 2 — Anpassungstests

Ein Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge Ω werde n-mal unter gleichen Bedingungen durchgefuhrt. Fur eine Ereignisdisjunktion

Spezielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung

\Omega = A_1 \cup \ldots \cup A_r mit A_i \cap A_j \ne \phi f\ddot ur i \ne j

Maximum-Likelihood-Schätzer

wie sie im Kapitel 34 betrachtet wurde, wird fur jedes Ereignis A 1,…, Ar gezahlt, wie oft es bei den n Versuchswiederholungen eintritt. Die Zufallsvariable Y j beschreibe die zufallige Anzahl der Versuchswiederholungen, bei denen A j eintritt, j = 1,… ,r. Da die Ereignisse A 1,…, Ar eine Ereignisdisjunktion bilden, wird bei jeder Versuchswiederholung genau eines von ihnen eintreten, sodass {fg433-01} gilt. Die Zufallsvariablen sind also nicht unabhangig. Bezeichnet man mit p j die Wahrscheinlichkeit, mit der das Ereignis A j bei einer einzigen Versuchsdurchfuhrung eintritt, so kann angenommen werden: {fg433-02} Im folgenden sollen Nullhypothesen uber die Wahrscheinlichkeiten p 1,…,pr der Ereignisse A1,…, A r von der Form