Kai Köhler

A fixed point formula of Lefschetz type in Arakelov geometry I: statement and proof

Abstract.We consider arithmetic varieties endowed with an action of the group scheme of n-th roots of unity and we define equivariant arithmetic K0-theory for these varieties. We use the equivariant analytic torsion to define direct image maps in this context and we prove a Riemann-Roch theorem for the natural transformation of equivariant arithmetic K0-theory induced by the restriction to the fixed point scheme; this theorem can be viewed as an analog, in the context of Arakelov geometry, of the regular case of the theorem proved by P. Baum, W. Fulton and G. Quart in [BaFQ]. We show that it implies an equivariant refinement of the arithmetic Riemann-Roch theorem, in a form conjectured by J.-M. Bismut (cf. [B2, Par. (l), p. 353] and also Ch. Soulé’s question in [SABK, 1.5, p. 162]).

A fixed point formula of Lefschetz type in Arakelov geometry III: representations of Chevalley schemes and heights of flag varieties

Abstract.We give a new proof of the Jantzen sum formula for integral representations of Chevalley schemes over Spec Z, except for three exceptional cases. This is done by applying the fixed point formula of Lefschetz type in Arakelov geometry to generalized flag varieties. Our proof involves the computation of the equivariant Ray-Singer torsion for all equivariant bundles over complex homogeneous spaces. Furthermore, we find several explicit formulae for the global height of any generalized flag variety.

Equivariant analytic torsion on ℙ n ℂ

On calcule une version equivariante de la torsion complete de Ray-Singer pour tous les fibres sur P 1 C et pour le fibre trivial sur P n C relativement a une isometrie a points fixes isoles. resultat donne pour tous les n une partie du R-genre de Gillet-Soule

Complex Analytic Torsion Forms for Torus Fibrations and Moduli Spaces

We construct analytic torsion forms for line bundles on holomorphic fibrations by tori, which are not necessarily Kahler fibrations. This is done by double transgressing the top Chern class. The forms are given in terms of Epstein zeta functions. Also, we establish a corresponding double transgression formula and an anomaly formula. The forms are investigated more closely for the universal bundle over the moduli space of polarized abelian varieties and for the bundle of Jacobians over the Teichmuller space.

Vektorbündel und Tensoren

Dieses Kapitel gehort wie das vorangegangene zum Bereich der Differentialtopologie und noch nicht zur Riemannschen Geometrie. Das Tangentialbundel wird zu beliebigen Bundeln aus Vektorraumen verallgemeinert, die sehr schnell fur weitere Konstruktionen wie etwa mehrfache Ableitungen notwendig werden. Auserdem werden einige Objekte aus der Linearen Algebra bereitgestellt: Die Algebra der Tensorprodukte von Vektoren und die endlich-dimensionale ausere Algebra zu einem endlich-dimensionalen Vektorraum. Der Wert dieser Objekte fur die Differentialgeometrie wird in diesen Abschnitten bereits dadurch etwas klarer, dass sie die Definition weiterer Differentialoperatoren ermoglichen. Die ausere Algebra liefert im vorletzten Abschnitt ein topologisches Instrument zur Unterscheidung von Mannigfaltigkeiten, die de Rham-Kohomologie. Die ausere Algebra verallgemeinert den Begriff der Determinante. Im letzten Abschnitt wird die ausere Algebra zur Definition eines Integrals auf Mannigfaltigkeiten analog zum Integrationsbegriff auf dem R n verwendet.

Der Satz von Poincaré-Hopf

Die topologischen Betrachtungen uber die de Rham-Kohomologie werden in diesem Kapitel weitergefuhrt, um eine elegante und weitreichende Formel uber Nullstellen von Schnitten in Vektorfeldern zu erhalten. Deren (mit einem Vorzeichen gewichtete) Anzahl wird dabei mit einem Integral uber ein bestimmtes Polynom in Termen der Krummung des Levi-Civita-Zusammenhangs identifiziert. Einem Ansatz von Mathai und Quillen folgend, ist diese Formel genauer eine Kombination der klassischen Satze von Poincare-Hopf und Chern-Gaus-Bonnet. Die damit geschaffene Brucke zwischen differentialtopologischen und differentialgeometrischen Grosen lasst sich vielfach fur uberraschende Anwendungen nutzen. Zum Abschlus des Kapitels werden etliche Konsequenzen fur Vektorfelder, Krummungsschranken, Extrema reellwertigen Funktionen, Lorentz-Metriken und Kreisoperationen erklart.