Karl Strambach

Loops in group theory and lie theory

Preface * Notation * Introduction Part I: General theory of transitive sections in groups and the geometry of loops Elements of the theory of loops * Scheerer extensions of loops * Nets associated with loops * Local 3-nets * Loop-sections covered by 1-parameter subgroups and geodesic loops * Bol loops and symmetric spaces * Bol nets * Strongly topological and analytic Bol loops * Core of a Bol loop and Bruck loops * Bruck loops and symmetric quasigroups over groups * Topological and differentiable Bruck loops * Bruck loops in algebraic groups * Core-related Bol loops * Products and loops as sections in compact Lie groups * Loops on symmetric spaces of groups * Loops with compact translation groups and compact Bol loops * Sharply transitive normal subgroups Part II: Smooth loops on low dimensional manifolds Loops on 1-manifolds * Topological loops on 2-dimensional manifolds * Topological loops on tori * Topological loops on the cylinder and on the plane * The hyperbolic plane loop and its isotopism class * 3-dimensional solvable left translation groups * Classification of differentiable 2-dimensional Bol loops * Collineation groups of 4-dimensional Bol nets * Strongly left alternative plane left A-loops * Loops with Lie group of all translations * Multiplicative loops of quasifields Bibliography

Rings and geometry

I: Non-Commutative Algebraic Geometry.- Principles of non-commutative algebraic geometry.- 1 Free algebras and free fields.- 2 Specializations and the rational topology.- 3 Singularities of matrices over a free ring.- 4 Existentially closed fields and the Nullstellensatz.- Applications of results on generalized polynomial identities in Desarguesian projective spaces.- 1 Introduction.- 2 Non-degenerate normal curves.- 3 Degenerate conics.- 4 Degenerate normal curves.- II: Hjelmslev Geometries.- A topological characterization of Hjelmslevs classical geometries.- 1 Hjelmslev planes and Hjelmslev rings.- 2 Construction of commutative H-rings.- 3 The geometric significance of nilpotent radicals.- 4 Topological Hjelmslev planes.- 5 Locally compact H-planes.- 6 Characterizations of commutative H-rings with nilpotent radicals.- 7 Locally compact connected pappian Hjelmslev planes.- Finite Hjelmslev planes and Klingenberg epimorphisms.- 1 K-structures and H-structures.- 2 Nets and non-existence results for K-structures.- 3 Nets and non-existence results for H-structures.- 4 Desarguesian K-planes.- 5 Auxiliary matrices.- 6 Quadratic forms and a PH-plane with q2 ? q1.- 7 Regular K-structures.- 8 Generalizations of Singers theorem and a recursive construction.- 9 Eumorphisms of regular K-structures.- 10 Balanced H-matrices.- 11 Recursive constructions.- 12 Open problems.- III: Geometries over Alternative Rings.- Generalizing the Moufang plane.- 1 Inhomogeneous and homogeneous coordinates.- 2 Collineations of real projective planes.- 3 The real projective plane P( IR ) as a homogeneous space.- 4 Abstract projective planes.- 5 A Jordan algebra construction of projective planes.- 6 The Hjelmslev-Moufang plane.- 7 Algebraic transvections in P(O).- 8 Axiomatization and coordinatization of P(O).- 9 P(O) as homogeneous space.- 10 Another realization of ?.- 11 Jordan pairs - a final look at the Hjelmslev-Moufang plane.- 12 Abstract Moufang-Veldkamp planes.- Projective ring planes and their homomorphisms.- A. Algebraic preliminaries.- 1 Free modules and their subspaces.- 2 Stable rank of a ring.- B. Projective ring planes.- 3 The projective plane over a ring of stable rank 2.- 4 Barbilian planes.- 5 Collineations and affine collineations.- 6 Barbilian transvection planes.- 7 Projective ring planes.- 8 Coordinatization of projective ring planes.- 9 Projective planes over special types of rings.- C. Homomorphisms of projective ring planes.- 10 Homomorphisms of Barbilian planes.- 11 Distant-preserving homomorphisms.- 12 Algebraic characterization of full incidence homomorphisms.- 13 Full neighbor-preserving homomorphisms.- 14 Admissible subrings.- IV: Metric Ring Geometries, Linear Groups over Rings and Coordinatization.- Topics in geometric algebra over rings.- 1 Collineations between projective spaces.- 2 Collineations between lines.- 3 Non-injective maps which preserve generalized harmonic quadruples.- 4 The structure of GLn(R).- Metric geometry over local-global commutative rings.- 1 LG-rings.- 2 Linear algebra.- 3 GL (2).- 4 Inner_product spaces and the orthogonal group.- 5 Witt rings.- 6 The symplectic and unitary groups.- Linear mappings of matrix rings preserving invariants.- 1 Introduction.- 2 The linear algebraic approach of McDonald, Marcus, and Moyls.- 3 The group scheme approach of Waterhouse.- 4 Concluding remarks.- Kinematic algebras and their geometries.- 1 Motivation and historical review.- 2 Problems resulting from classical kinematics a survey of the material covered in this paper.- 3 2-algebras.- 4 Alternative kinematic algebras.- 5 Geometric derivations of 2-algebras.- 6 2-algebras whose projective derivation is an affine porous space.- 7 The kinematic derivation of an alternative kinematic algebra. Representation theorem.- 8 Kinematic algebras with an adjoint map. The general notation of a kinematic map.- 9 Kustaanheimos kinematic model of the hyperbolic space.- Coordinatization of lattices.- 1 Introduction.- 2 Basic definitions and notations.- 3 The axioms and formulation of the coordinatization theorem.- 4 Lemmata.- 5 Proof of the coordinatization theorem.- 6 A different approach.- 7 The independence of the axioms.- Epilog.- The advantage of geometric concepts in mathematics.- Index of Subjects.

Zweidimensionale Quasialgebren mit Nullteilern

We investigate quasi-algebrasF with zero divisors of dimension 2 over a commutative fieldK which have aK-basis 1,j with an idealKj. Assume thatj belongs to the nucleus ofF. Ifj is an idempotent (and can not be replaced by a nilpotent element) thenF is an algebra, i.e. satisfies both distributative laws. Ifj is nilpotent the possibilities forf depend on the solution of a functional equation first studied by Gołab and Schinzel for the field of real numbers. We discuss this functional equation in arbitrary locally compact fields.

LOOPS, THEIR CORES AND SYMMETRIC SPACES

This paper is devoted to the relations among affine symmetric spaces, smooth Bol and Moufang loops, smooth left distributive quasigroups and differentiable 3-nets. The results are used to prove the analyticity of smooth Moufang loops and left distributive quasigroups with involutive left translations as well as to show the Lie nature of transformation groups naturally related to some classes of smooth binary systems and 3-nets. In the last section we establish power series expansion for local loops with weak associativity conditions and apply the methods of the previous sections in order to describe geodesic loops having euclidean lines either as their geodesic lines or as geodesic lines of their core.

Partitionen Liescher und algebraischer Gruppen

We classify all partitions of Lie groups into closed subgroups and show that a locally compact connected group with a non-trivial partition is necessarily a Lie group. It is remarkable that partitions of connected Lie groups always consist of connected subgroups. As a by-product of our classification we show that in a simply connected solvable Lie group the smallest subgroup outside of which every element lies on exactly one 1-parameter-subgroup is a connected normal subgroup (which is generated by the irregulär points of the exponential map). For algebraic groups (over an algebraically closed field) we extend the results of O. H. Kegel, in particular showing that a connected algebraic group with a non-trivial partition is affine and that every unipotent group of positive characteristic possessing a partition into proper connected subgroups must be a vector group. In a second part we study the geometry of the cosets of the members of a partition of a Lie group or of an algebraic group. We introduce suitable smoothness conditions; under these assumptions we obtain strong restrictions for the dimensions of lines. In many cases we can determine the group of collineations of these geometries. Finally we show that only the classical examples admit a flag transitive group of collineations. 1980 Mathematics Subject Classification (1985 Revision): 22E15, 22E20, 20G20, 20G99, 51A15, 51A40, 51H20, 51H30. Der Begriff der Partition einer Gruppe in Untergruppen hat sich aus einer geometrischen Situation herauskristallisiert: Erlaubt eine affine Ebene transitive Translationsgruppen Ta in jede Richtung a, so bilden diese Untergruppen TQ eine Partition der vollen Translationsgruppe , die sich als ein Vektorraum erweist und direkte Summe je zweier Glieder dieser Partition ist. Geht man umgekehrt von einer * Der zweite Autor dankt herzlich der Volkswagen-Stiftung, die durch ein Akademiestipendium die Entstehung dieser Arbeit gefördert hat. 524 P. Plaumann, K. Strambach Partition einer Gruppe G aus, so erhält man eine Geometrie, deren Punkte die Elemente von G und deren Geraden die Nebenklassen der Glieder von ^3 sind (vgl. [9]). J. Andre hat diese Geometrien systematisch studiert und sie axiomatisch fundiert (s. [3]). Seine Fragestellungen suchen nach Bedingungen an die Geometrie, welche die Kommutativität der partierten Gruppen sichern. Für endliche Gruppen hat R. Baer gruppentheoretische Bedingungen herausgestellt, welche zu den ausgezeichneten Geometrien der Geraden in einem affinen Raum beliebiger Dimension führen ([6], [7], [8]). Für nicht-abelsche Gruppen waren außer den Standardbeispielen, nämlich den Frobeniusgruppen und den Gruppen PGL2 sowie PSL2, keine weiteren Beispiele endlicher nicht-auflösbarer Gruppen mit einer nicht-trivialen Partition zur Hand. Die Ergebnisse von Baer und Andre legitimierten den Versuch einer Klassifikation von Gruppen, die Partitionen gestatten. Höhepunkt dieser Suche war die Entdeckung neuer endlicher einfacher Gruppen durch M. Suzuki ([82], [83]). Die Klassifikation endlicher Gruppen mit Partition wurde durch O. H. Kegel zum Abschluß gebracht: Außer den schon erwähnten Beispielen und der symmetrischen Gruppe S4 erzeugen in den übrigen endlichen Gruppen G mit Partition die Elemente der Ordnung p für eine feste Primzahl p eine Untergruppe G ([50], [51], [54], vgl. auch [20]). Schon nilpotente nicht-abelsche solche Gruppen mit Partition gibt es in großer Fülle (vgl. [40], [49], [88], [95]) eine Klassifikation ist hier aussichtslos. Neben endlichen Inzidenzstrukturen sind am meisten die lokal kompakten topologischen Geometrien untersucht worden. H. Salzmann und seine Schule haben lokal kompakte Ebenen mit großer Kollineationsgruppe klassifiziert. Die Translationsebenen spielen unter ihnen eine herausragende Rolle ([11], [12], [13], [14], [30], [31], [68], [70]); die lokal kompakten zusammenhängenden sind sogar nur auf Mannigfaltigkeiten (genauer auf IR für n = 2,4,8,16) realisierbar (vgl. etwa [30], S. 259). Entsprechend zeigen wir in 1.7, daß eine zusammenhängende lokal kompakte Gruppe, die eine nichttriviale Partition besitzt, bereits Liesch sein muß. Damit betritt man das Reich der Liegruppen mit Partitionen in abgeschlossene Untergruppen, eines der Hauptthemen dieser Arbeit. Wir untersuchen aber auch Gruppen mit Partition in der Kategorie der komplex-analytischen und der algebraischen Gruppen, um die Analogie zwischen diesen drei Gruppenklassen herauszustellen und zu testen, ob die Theorie der komplex-analytischen bzw. algebraischen Gruppen wesentlich stärkere Einschränkungen liefert oder insbesondere bei algebraischen Gruppen in positiver Charakteristik zu abweichenden Phänomenen führt. Für algebraische Gruppen liegt eine Arbeit von O. H. Kegel [53] vor, deren Ergebnis dem Klassifikationssatz für endliche Gruppen mit Partition entspricht; wir haben dieses Resultat durch verfeinerte Untersuchungen über unipotente Gruppen in positiver Charakteristik angereichert und auch nichtaffine algebraische Gruppen in die Betrachtung einbezogen. Eine Partition einer (reellen oder komplexen) Liegruppe besteht aus einem System von abgeschlossenen Untergruppen, welches G überdeckt und P1 n P2 = l für 2 e 93 erfüllt. Für die Existenz von Partitionen zusammenhängender Liescher Gruppen kennt man von vornherein drei Hauptquellen: die Exponentialabbildung Partitionen Liescher und algebraischer Gruppen 525 einer einfach zusammenhängenden auflösbaren Liegruppe, welche im günstigsten Fall eine Partition in Einparametergruppen liefert, die Frobeniusgruppen (vgl. [63]) und die ebenen metrischen Geometrien. Wir bestätigen in dieser Arbeit, daß Partitionen zusammenhängender Liegruppen im wesentlichen nur auf diese Art entstehen können. Ist die zusammenhängende Liegruppe G nicht einfach zusammenhängend, so besitzt G genau dann eine nicht-triviale Partition, wenn sie entweder eine Frobeniusgruppe ist oder isomorph zu einer der Gruppen PSL2(^), PSL2(C), SO3 (IR) ausfallt (Satz 1.6.3, Satz 1.5.2). Ist G dagegen einfach zusammenhängend, so ist G notwendig auflösbar. Ob eine einfach zusammenhängende auflösbare Liegruppe G wirklich eine nicht-triviale Partition besitzt, wird durch das Verhalten der Exponentialabbildung entschieden. Es gibt einen eindeutig bestimmten größten nichtpartierbaren Normalteiler N, so daß durch jedes Element von G, welches nicht in 7V liegt, eine eindeutig bestimmte Einparametergruppe geht; dieser Normalteiler N wird von denjenigen Elementen von G erzeugt, welche auf keiner oder mehreren Einparameteruntergruppen liegen (Satz 1.2.10). Besonders bemerkenswert ist die Tatsache, daß jede Partition einer zusammenhängenden Liegruppe in abgeschlossene Untergruppen stets aus zusammenhängenden Untergruppen besteht (Satz 1.6.4). Als Nebenprodukt unserer Betrachtungen über Frobeniusgruppen können wir einen Satz von Muchin [63] verschärfen und zeigen, daß Frobeniuskomplemente mit nichttrivialer, weder kompakter noch kompaktfreier Zusammenhangskomponente zu einer der Gruppen C+, IH+ bzw. C+ </> isomorph sein müssen, wobei j eine Quaternion mity = — l und jij = — i ist (Satz 1.4.5). Bei unzusammenhängenden Liegruppen G mit einer Partition unterscheiden wir zwei Fälle: Die Zusammenhangskomponente G0 bleibt unpartiert, oder induziert auf G0 eine nicht-triviale Partition. Entsprechend dem Klassifikationssatz für zusammenhängende Liegruppen mit einer Partition beschreiben wir im zweiten Fall alle Möglichkeiten, falls G0 nicht auflösbar ist. Es treten die Gruppe PGL2 (IR) sowie unzusammenhängende Frobeniusgruppen auf (I. Satz 8.4 und 8.6); für auflösbare partierte Zusammenhangskomponente G0 muß zwar G keine Frobeniusgruppe sein, doch die Struktur von G kann dann genau beschrieben werden, wenn G0 nicht einfach zusammenhängend ist (vgl. I. Satz 8.8). Ist dagegen G0 unpartiert, so ist notwendig G0 eine nilpotente Gruppe (Lemma 1.8.1). Ist G/G0 l, aber endlich, so kann G nur dann eine nichttriviale Partition besitzen, wenn G0 auflösbar und einfach zusammenhängend ist (I. Korollare 8.7 und 8.9). Für affine algebraische Gruppen hat O. H. Kegel gezeigt, daß eine zusammenhängende algebraische Gruppe G (über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K), welche nicht unipotent ist, genau dann eine nicht-triviale Partition gestattet, wenn sie entweder eine Frobeniusgruppe oder isomorph zu PSL2 (K) ist; dabei ist nicht einmal vorausgesetzt, daß die Partition aus abgeschlossenen Untergruppen besteht. Wir zeigen zunächst, daß eine algebraische Gruppe mit nicht-trivialer Partition entweder affin ist oder das semidirekte Produkt einer abelschen Gruppe mit der vom Automorphismus — l erzeugten Gruppe der Ordnung 2 (Satz 1.9.6). Zusammenhängende algebraische Frobeniusgruppen wurden in einer Arbeit von Hertzig [33] behandelt; wir bemerken, daß ihre Frobeniuskomplemente stets eindimensionale 526 P. Plaumann, K. Strambach Tori sind. Eine unipotente Gruppe G in Charakteristik p besitzt genau dann eine Partition, wenn ihr Exponent/? ist. Dagegen besitzt eine solche Gruppe G genau dann eine Partition in abgeschlossene zusammenhängende Untergruppen, wenn sie eine Vektorgruppe ist (Satz 1.9.11). In Charakteristik 0 sind die Verhältnisse analog denen bei den Lieschen Gruppen; insbesondere besitzt hier jede unipotente Gruppe die Partition in ihre Einparameteruntergruppen. Abschließend zeigen wir in Verschärfung des Satzes aus [53], S. 69, daß eine unzusammenhängende algebraische Gruppe mit einer nichttrivialen Partition eine nilpotente Zusammenhangskomponente hat. Im Kapitel II besinnen wir uns des geometrischen Aspekts einer Partition auf einer Gruppe. Wir legen dabei nicht nur die abstrakte Inzidenzstruktur (samt Translationsgruppe) zugrunde, sondern stellen Glattheitsforderungen, die der Kategorie der Lieschen, komplex-analytischen bzw. algebraischen Gruppen angepaßt sind. Der von uns eingeführte Begriff der differentiellen Glattheit einer Partition ^ ist im Fall einer Lieschen Gruppe G sehr natürlich, denn er stellt lediglich sicher, daß der

Gruppenuniversalität und Homogenisierbarkeit

SummaryFor a classC of structures there are two archetypical questions: 1) Is every group G the full automorphism group of some C ∈C? and 2) May every C ∈C embedded into some homogeneous H ∈C, i.e. into a structure H enjoying some transitivity properties? Using model theoretic language and conditions on the existence of certain free constructions withinC, some rather general positive answers to these questions are obtained. These abstract results give some (methodical) unification to a variety of theorems for some very concrete classesC of combinatorial, geometrical or algebraic nature in the literature. To underline this point, the major part of the paper is devoted to a systematic survey of classesC of structures in which our general approach is applicable, included many classesC for which our type of questions has not yet been considered.

Translation groups of Steiner loops

If the order of any product of two different translations of a finite Steiner quasigroup of size n>3 is odd, then the group G generated by the translations of the corresponding Steiner loop of order n+1 contains the alternating group of degree n+1.

Algebraic groups and Lie groups with few factors

Prerequisites.- Extensions.- Groups of Extreme Nilpotency Class.- Chains.- Groups with Few Types of Isogenous Factors.- Three-Dimensional Affine Groups.- Normality of Subgroups.

Multigroups and the foundations of geometry

The aim of this paper is to show that the foundations of geometry and the theory of moultigroups are strictly related.

Monothetic algebraic groups

We call an algebraic group monothetic if it possesses a dense cyclic subgroup. For an arbitrary field k we describe the structure of all, not necessarily affine, monothetic k-groups G and determine in which cases G has a k-rational generator.