Klaus Fritzsche

Several complex variables

I Holomorphic Functions.- 1 Power Series.- 2 Complex Differentiable Functions.- 3 The Cauchy Integral.- 4 Identity Theorems.- 5 Expansion in Reinhardt Domains.- 6 Real and Complex Differentiability.- 7 Holomorphic Mappings.- II Domains of Holomorphy.- 1 The Continuity Theorem.- 2 Pseudoconvexity.- 3 Holomorphic Convexity.- 4 The Thullen Theorem.- 5 Holomorphically Convex Domains.- 6 Examples.- 7 Riemann Domains over ?n.- 8 Holomorphic Hulls.- III The Weierstrass Preparation Theorem.- 1 The Algebra of Power Series.- 2 The Weierstrass Formula.- 3 Convergent Power Series.- 4 Prime Factorization.- 5 Further Consequences (Hensel Rings, Noetherian Rings).- 6 Analytic Sets.- IV Sheaf Theory.- 1 Sheaves of Sets.- 2 Sheaves with Algebraic Structure.- 3 Analytic Sheaf Morphisms.- 4 Coherent Sheaves.- V Complex Manifolds.- 1 Complex Ringed Spaces.- 2 Function Theory on Complex Manifolds.- 3 Examples of Complex Manifolds.- 4 Closures of ?n.- VI Cohomology Theory.- 1 Flabby Cohomology.- 2 The ?ech Cohomology.- 3 Double Complexes.- 4 The Cohomology Sequence.- 5 Main Theorem on Stein Manifolds.- VII Real Methods.- 1 Tangential Vectors.- 2 Differential Forms on Complex Manifolds.- 3 Cauchy Integrals.- 4 Dolbeaults Lemma.- 5 Fine Sheaves (Theorems of Dolbeault and de Rham).- List of symbols.

Der Weierstraßsche Vorbereitungssatz

In diesem Kapitel wollen wir uns eingehender als bisher mit Potenzreihen im Cn befassen. Ziel unserer Bemuhungen wird es sein, eine Art Divisionsalgorithmus fur Potenzreihen zu finden, durch den die Untersuchung der Nullstellen von holomorphen Funktionen erleichtert wird.

Die Kunst des Integrierens

Sei \(I=[a,b]\subset \mathbb{R}\) ein abgeschlossenes Intervall, \(f:I\to \mathbb{R}\) eine Funktion. Wir nehmen vorerst an, dass \(f(x)\ge 0\) fur alle \(x\in I\) ist und stellen uns die Aufgabe, die Flache zu berechnen, die unten durch die x-Achse, oben durch den Graphen von f, links durch die Gerade {x = a} und rechts durch die Gerade {x = b} begrenzt wird.

Unendlich viele Zahlen

Jetzt geht’s los! Den Apparat der Logik und Mengenlehre haben wir kennengelernt; damit beherrschen wir die Sprache, in der heutzutage Mathematik geschrieben wird, und wir konnen uns an mathematische Themen heranwagen. Wir beginnen mit den Zahlen, weil sie jedermann ganz besonders vertraut sind.

Auf dem Weg ins Irrationale

In ℤ kann man uneingeschrankt addieren, subtrahieren und multiplizieren. Nur mit der Division hapert es ein wenig, was uns die Teilbarkeitslehre beschert hat.

Das Parallelogramm der Kräfte

In der Physik gibt es Grosen, die durch die Angabe einer reellen Zahl vollstandig bestimmt sind, wie etwa Masse, Energie, Volumen oder Zeit. Solche Grosen nennt man Skalare.

Von Mengen und Unmengen

Georg Cantor (1845-1918) stellte am 29. November 1873 in einem Brief an den Braunschweiger Mathematiker Richard Dedekind sinngemas die folgende Frage: „Kann man die Gesamtheit der naturlichen Zahlen 1, 2, 3, … so der Gesamtheit der positiven reellen Zahlen zuordnen, dass jeder naturlichen Zahl n eine und nur eine reelle Zahl entspricht?“

Wie wahr ist die Mathematik

Ganz so kritisch wie Goethe wird ein angehender Mathematikstudent sein neues Arbeitsgebiet wohl nicht sehen. Doch viele andere Menschen stehen der Mathematik ziemlich reserviert gegenuber. Bestenfalls empfinden sie Ehrfurcht, mit der Betonung eher auf der „Furcht“ als auf der „Ehre“.

Eins hängt vom andern ab

Die Mengen {x, y} und {x, y} sind gleich, weil sie die gleichen Elemente enthalten. Manchmal legt man aber zusatzlich Wert auf die Reihenfolge der Elemente. Die Objekte x und y werden dann zu einem (geordneten) Paar zusammengefasst, das man mit dem Symbol (x, y) bezeichnet. Bei einem solchen Paar kommt es genau darauf an, welches Element an der ersten und welches an der zweiten Stelle steht.

Differentialrechnung in mehreren Variablen

Zur Erinnerung: Die Elemente des ℝn schreiben wir normalerweise als Zeilenvektoren: \(x = ({x_1} \ldots ,{x_n}).\)