Klaus Niederdrenk

Die endliche Fourier- und Walsh-Transformation mit einer Einführung in die Bildverarbeitung

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Akima- und Renner-Subsplines

Wie die interpolierenden kubischen Splines (Kapitel 10) setzen sich die interpolierenden Akima-Subsplines und Renner-Subsplines intervallweise aus kubischen Polynomen zusammen. Wahrend die kubischen Splines zweimal stetig differenzierbar sind, wird von den Subsplines nur die einmalige stetige Differenzierbarkeit gefordert. Je zwei benachbarte Segmente eines Subspline haben im gemeinsamen Stutzpunkt dieselbe Tangente, aber nicht dieselbe Krummung. Daher kann sich an ein krummliniges Segment eines Subspline ein geradliniges mit der Krummung Null tangential anschliesen. Zwei benachbarte geradlinige Segmente, die zu verschiedenen Geraden gehoren, erzeugen eine Ecke (Abb. 11.3). Abweichend von den Originalarbeiten von Akima [AKIM1970] und Renner [RENN1981], [RENN1982] werden Ecken hier zugelassen, so dass der Subspline dann nur stuckweise stetig differenzierbar ist. Falls Ecken nicht erwunscht sind, konnen sie durch Einfugen weiterer Punkte vermieden werden (Abb. 11.7). Ein Vorteil der Akima- und Renner-Subsplines gegenuber den anderen Splines ist, dass fur die Berechnung ihrer Koeffizienten kein lineares Gleichungssystem gelost werden muss.

Systeme nichtlinearer Gleichungen

Nichtlineare Gleichungssysteme sind einerseits eine Verallgemeinerung der linearen Gleichungssysteme (siehe Kapitel 4), andererseits der nichtlinearen Gleichungen (Kapitel 2). Es handelt sich hier um n nichtlineare Gleichungen, die zu einem System zusammengefugt sind, sich aber nicht in der Form \(\boldsymbol{{A}\,{x} = {a}}\) linearer Systeme formulieren lassen. Im Gegensatz zu den linearen Systemen, die eine, unendlich viele oder keine Losung haben, besitzen nichtlineare Systeme keine, eine, mehrere oder unendlich viele Losungen.

Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Man unterscheidet direkte und iterative Methoden zur numerischen Losung linearer Gleichungssysteme. Die direkten Methoden liefern die exakte Losung, sofern man von Rundungsfehlern absieht. Die iterativen Methoden gehen von einer Anfangsnaherung fur die Losung (dem sogenannten Startvektor) aus und verbessern diese schrittweise; sie werden in Kapitel 5 behandelt.

Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen

Ist f eine in einem abgeschlossenen Intervall \(I = [a, b]\) stetige und reellwertige Funktion, so heist eine Zahl \(\xi \in I\) eine Nullstelle der Funktion f oder eine Losung der Gleichung

Polynomiale Interpolation sowie Shepard-Interpolation

f(x) = 0\,,

Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

(2.1) falls \(f(\xi) = 0\) ist.

Lineare und nichtlineare Approximation

Im Folgenden werden Polynome P n mit