Kurt-Ulrich Witt

Effiziente Lösungen von Spezialfällen des Cutting sticks-Problems

Das Cutting sticks-Problem ist in seiner allgemeinen Formulierung ein NP-vollstandiges Problem mit Anwendungspotenzialen im Bereich der Logistik. Unter der Annahme, dass P ungleich NP (P != NP) ist, existieren keine effizienten, d.h. polynomiellen Algorithmen zur Losung des allgemeinen Problems. In diesem Papier werden fur eine Reihe von Instanzen effiziente Losungen angegeben.

Ansätze für effiziente Lösungen von Cutting sticks-Problemen und deren Charakterisierung

Das Cutting sticks-Problem ist in seiner allgemeinen Formulierung ein NP-vollstandiges Problem mit Anwendungspotenzialen im Bereich der Logistik. Unter der Annahme, dass P ungleich NP (P != NP) ist, existieren keine effizienten, d.h. polynomiellen Algorithmen zur Losung des allgemeinen Problems. In diesem Papier werden Ansatze aufgezeigt, mit denen bestimmte Instanzen des Problems effizient berechnet werden konnen. Fur die Berechnung wichtige Parameter werden charakterisiert und deren Beziehung untereinander analysiert.

Ringe, Integritätsbereiche und Körper

Gruppen sind Rechenstrukturen mit einer Operation. Bei Beispielen und Ubungen mit Zahlenstrukturen haben wir deshalb bisher zwischen additiven und multiplikativen Strukturen unterschieden, was wir im taglichen Leben eigentlich nicht tun; da gehoren sowohl Addition und Multiplikation zum Rechnen mit Zahlen. In diesem Kapitel werden nun Strukturen mit zwei Operationen abstrakt eingefuhrt, und wir werden dann sehen, dass die bekannten Zahlenmengen, wie ganze Zahlen und rationale Zahlen mit Addition und Multiplikation, Beispiele dafur sind. Betrachtet werden Strukturen wie Ringe, Integritatsbereiche und Korper; Nullteiler und Einheitengruppen von Ringen; Korpererweiterungen; die Eulersche φ-Funktion; die Satze von Euler und Fermat; Polynomringe und ihre Verwandtschaft und ihre Unterschiede zu Zahlen-Ringen.

Erweiterungen endlicher Körper

Bisher wurden an vielen Stellen Beispiele von endlichen Korpern und Beispiele von Polynomen uber endlichen Korpern betrachtet. In diesem Kapitel werden wir mithilfe von Nullstellen von Polynomen alle Korper mit endlich vielen Elementen beschrieben, und wir werden sehen, wie diese konstruiert werden konnen.

Abzählmethoden und das Urnenmodell

Wir haben bereits im ersten Kapitel bei der Bestimmung der Anzahl von Permutationen und Kombinationen mit und ohne Wiederholung bestimmte Grundannahmen gemacht. So sind wir z.B. davon ausgegangen, dass endliche Mengen, deren Elemente man eineindeutig einander zuordnen kann, die gleiche Anzahl von Elementen besitzen, und dass die Gesamtzahl der Verinigung von disjunkten endlichen Mengen gleich der Summe der Elementanzahlen dieser Mengen ist. In diesem Kapitel werden die grundlegenden Abzahlmethoden dargestellt. Des Weiteren wird das Urnenmodell vorgestellt, welches der Veranschaulichung von Auswahl- und Abzahlmethoden gilt.

Diskretes Differenzieren und Integrieren

Konzepte und Methoden der Differentiation und Integration stetiger Funktionen konnen auf diskrete Funktionen ubertragen werden. Analog definierte Operatoren zeigen dabei analoge Eigenschaften. Anwendungen dieser Operatoren fuhren z.B. zur geschlossenen Darstellung von Summen von Potenzen und Summen von Faktoriellen. Wir werden sehen, dass dabei die Stirlingzahlen erster und zweiter Art eine wichtige Rolle spielen.

Permutationen und Kombinationen

In diesem Kapitel beschaftigen wir uns mit der Auswahl von Teilmengen von endlichen Mengen, dabei insbesondere mit der Frage, wie viele Moglichkeiten es prinzipiell gibt, solche Auswahlen zu treffen. Dabei unterscheiden wir bei der Auswahl, ob Elemente nur einmal oder wiederholt ausgewahlt werden konnen und ob die Reihenfolge der Auswahl eine Rolle spielt.

Determinanten und invertierbare Matrizen

Die Determinante einer Matrix ist von wesentlicher Bedeutung fur Eigenschaften und Anwendungen von Matrizen. Wir werden auf die Bedeutung fur die Losbarkeit und gegebenenfalls fur die Losungen von Gleichungssystemen sowie auf den Zusammenhang zur Invertierbarkeit von Matrizen eingehen.

Einführung in die algebraische Codierungstheorie

Die Codierung von Daten spielt eine zentrale Rolle bei der Anwendung von Informations- und Kommunikationstechnologien. Daten mussen so dargestellt werden, dass sie von der eingesetzten Hard- und Software verarbeitet werden konnen. Codierungen begegnen uns aber nicht nur mittelbar in der Informations- und Kommunikationstechnologie, sondern unmittelbar auch standig in vielen Lebensbereichen. Geldscheinnummern, Strichcode (EAN - europaische Artikelnummerierung), ISBN-Nummern bei Buchern, Personen identifizierende Schlussel (z.B. Passnummern und Versicherungsnummern), Audio- und Video-Codes sowie der DNS-Code sind einige Beispiele dafur. Dabei spielen die Qualitatsanforderungen Fehlererkennung und Fehlerkorrektur eine zentrale Rolle. Wie konnen Daten so codiert werden, dass Fehler bei deren Verarbeitung erkannt und moglicherweise sogar korrigiert werden konnen? Wir werden sehen, dass wir algebraische Grundlagen, die wir bisher kennen gelernt haben, verwenden konnen, um Fehler erkennende und Fehler korrigierende Codierungen zu realisieren.

Anhang: Algebraische Strukturen

Das Rechnen mit Vektoren und Matrizen sowie das Losen von Gleichungssystemen, Codierung von Daten und Quantenalgorithmen finden in algebraischen Strukturen wie Halbgruppen, Monoiden, Gruppen, Ringen, Integrit atsbereichen und Korpern statt. Im Folgenden listen wir die Definitionen dieser Strukturen und einige fur das Rechnen in ihnen wichtige Regeln auf.