Liesa Denecke

Robust estimators and tests for bivariate copulas based on likelihood depth

Estimators and tests based on likelihood depth for one-parametric copulas are given. For the Gaussian and Gumbel copulas, it is shown that the maximum depth estimators are biased. They can be corrected and the new estimators are robust against contamination. For testing, simplicial likelihood depth is considered. Because of the bias of the maximum depth estimator, simplicial likelihood depth is not a degenerated U-statistic so that easily asymptotic @a-level tests can be derived for arbitrary hypotheses. Tests are in particular investigated for the one-sided alternatives. Simulation studies for the Gaussian and Gumbel copulas show that the power of the first test is rather good, but the latter one has to be improved, which is also done here. The new tests are robust against contamination.

Anwendungen in der Qualitätssicherung

Wir wollen nun die Erkenntnisse des letzten Teils zur schliesenden Statistik nutzen um einen kleinen Einblick in die Methoden der statistischen Qualitatssicherung zu bekommen. Wir betrachten dazu zuerst Qualitatssicherungsmasnahmen, die vorrangig vom Produzenten bei der Herstellung von Produkten durchgefuhrt werden. Das betrifft zum Einen die Haltbarkeit der Produkte. Dazu werden wir zunachst noch einmal in Abschn. 26.1 die Lebensdauerverteilungen aus dem Kap. 17 uber Zuverlassigkeitstheorie betrachten. Neben der Haltbarkeit mussen die Produkte aber noch viele andere Anforderungen bezuglich Grose, Gewicht, Form, chemischer Zusammensetzung, Aussehen, Funktionalitat etc. erfullen. Wenn ein Produktionsprozess so eingestellt ist, dass alle Anforderungen erfullt sind, so stellt sich dennoch in der laufenden Fertigung immer wieder die Frage, ob die Anforderungen noch gegeben sind. Durch Verschleis der Maschinen, durch Personalwechsel, durch Anderungen der Raumtemperatur etc. konnen sich die Rahmenbedingungen fur die Fertigung so andern, dass die produzierten Produkte die Anforderungen nicht mehr erfullen. Die Aufgabe der statistischen Fertigungsuberwachung, die in Abschn. 26.2 vorgestellt wird, ist, fruhzeitige Abweichungen von den Anforderungen zu erkennen. Dagegen betrifft die Annahmeprufung, die in Abschn. 26.3 behandelt wird, sowohl den Produzenten als auch die Abnehmer. Damit soll sicher gestellt werden, dass der Konsument nur Produkte annehmen muss, die seine Anforderungen erfullen. Umgekehrt sichert sie den Hersteller ab, dass bei ausreichender Qualitatslage der Konsument auch die Produkte abnehmen muss.

Fragestellungen der Schließenden Statistik

Wir haben gesehen, dass die Zufallszahlen die Eigenschaften der Verteilung widerspiegeln, von der sie erzeugt werden. Wenn man nun in der Statistik Daten erhebt, so folgen diese auch einer Verteilung. Der Unterschied ist nur, dass die Verteilung nun unbekannt ist und dass man in der Regel nur wenige Daten hat. Das heist, man hat Daten x 1, …, x N oder Datenpaare (x 1, y 1), …, (x N , y N ), bei denen N recht klein ist. Auf jeden Fall ist N im Allgemeinen nicht so gros, wie das bei den Zufallszahlen der Fall ist, wo N ja ohne weiteres als 1000 oder sogar 10000 gewahlt werden kann. Wie nun trotzdem mit relativ kleinen Datensatzen auf die zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung geschlossen werden kann, ist Aufgabe der „Schliesenden Statistik“. Ein anderer Name fur „Schliesende Statistik“ ist „Inferenz-Statistik“.

Erwartungswert und Varianz

Wie Zufallszahlen und damit auch Daten durch einige wenige Parameter wie arithmetisches Mittel, Standardabweichung, p-Quantil beschrieben werden konnen, konnen Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Verteilungsparameter beschrieben werden. Die Analoga zu arithmetischem Mittel und empirischer Varianz sind Erwartungswert und Varianz. Diese wollen wir in diesem Kapitel sowohl fur diskrete als auch fur stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen kennen lernen. Am Schluss des Kapitels wird das Gesetz der grosen Zahlen vorgestellt und gezeigt, wie es zur Simulation von Erwartungswert und Varianz genutzt werden kann.

Tests für H 0 : μ = μ 0 gegen H 1 : μ ≠ μ 0 bei Normalverteilung

Kann man annehmen, dass die Daten x 1, …, x N von einer Normalverteilung stammen, d.h. dass sie Realisierungen von unabhangigen, normalverteilten Zufallsvariablen X 1, …, X N sind, vereinfacht sich vieles. Die Verteilung ist dann bis auf die beiden Parameter µ und σ² der Normalverteilung bekannt. Wenn man eine Normalverteilung annimmt, so sind Hypothesen uber den Erwartungswert Hypothesen uber den Parameter µ. Hier wird das Testproblem H0: µ = µ0 gegen H1: µ ≠ µ0 ausfuhrlicher betrachtet. Es wird dabei auch auf den Fehler 2. Art eingegangen und die Frage, wie gros der Stichprobenumfang sein musste, um diesen moglichst gering zu halten.

Zufallsvariablen und deren Verteilungen

In vielen Situationen sind die Elemente ω des Grundraums Ω eines Zufallsexperiments selbst nicht von Interesse, sondern lediglich eine bestimmte Eigenschaft der Elemente ω, wie etwa die Brenndauer einer Gluhbirne, die Summe der Augenzahlen zweier Wurfel, die Anzahl von Sechsen bei 1000 Wurfelwurfen. Darum werden die sogenannten Zufallsvariablen eingefuhrt. Nach einer allgemeinen Einfuhrung wird die Verteilungsfunktion fur eindimensionale Zufallsvariablen definiert. Dabei wird zwischen stetigen und diskreten Zufallsgrosen unterschieden. Im folgenden Abschnitt lernen wir auch die Verteilungsfunktion fur mehrdimensionale Zufallsvektoren kennen.

Zufallszahlen und Simulationen

In diesem Kapitel wird gezeigt, wie die Statistiksoftware R genutzt werden kann, um Zufallszahlen aus verschiedenen Verteilungen zu simulieren. Fur stochastische Simulationen werden Zufallszahlen gebraucht. In R konnen Zufallszahlen mittels verschiedener Wahrscheinlichkeitsverteilungen erzeugt werden. Wahrend dVerteilung die Dichte der Verteilung ergibt, erhalt man mit rVerteilung Zufallszahlen, die gemas der Verteilung verteilt sind. Der zweite Abschnitt des Kapitels beschaftigt sich mit statistischen Kennzahlen fur diese Zufallszahlen. Der letzte Abschnitt beschaftigt sich dann mit der Simulation des Wurfelwurfs.

Weitere wahrscheinlichkeitstheoretische Kennzahlen

In diesem Kapitel werden analog zu den statistischen Kennzahlen aus dem ersten Teil des Buchs die p-Quantile und Abhangigkeitsmase fur Wahrscheinlichkeitsverteilungen definiert.

Tests bei nichtnormalverteilten Daten

In diesem Kapitel lernen wir einige Tests kennen, die benutzt werden konnen, wenn keine Normalverteilung vorliegt.

Statistische Kennzahlen für die Streuung

In diesem Kapitel gehen wir immer von quantitativen Daten aus, da die Messung von Streuung einen Abstandsbegriff voraussetzt. Dabei ist unwesentlich, ob das Merkmal diskret oder stetig ist. Wahrend im vorhergehenden Kapitel ein Datensatz durch verschiedene Lageparameter beschrieben wurde, sollen im Folgenden Grosen angegeben werden, die die Streuung eines Merkmals darstellen. Die Streuung in den Daten resultiert daraus, dass bei Messungen eines Merkmals i. Allg. verschiedene Werte beobachtet werden (z.B. Risslangen in Bautragern oder Lebenszeiten von Gluhbirnen). Zwar ermoglichen Lageparameter die Beschreibung eines Datensatzes durch Angabe eines mittleren Werts, jedoch konnen zwei Datensatze mit gleichem oder zumindest nahezu gleichem Lageparameter sehr unterschiedliche Streuung um diesen Lageparameter aufweisen. Der Lageparameter liefert somit eine nur unzureichende Information uber die Struktur des Datensatzes. Dieses Verhalten lasst sich auch aus den Haufigkeitsverteilungen bzw. den zugehorigen Histogrammen ablesen.