Ludovico Pernazza

On the differentiability class of the admissible square roots of regular nonnegative functions

We investigate the possibility of writing f = g 2 when f is a C k nonnegative function with k ≥ 6. We prove that, assuming that f vanishes at all its local minima, it is possible to get g ∈ C 2 and three times differentiable at every point, but that one cannot ensure any additional regularity.

On the Group of Transformations of Classical Types of Seventh Chords

This paper presents a generalization of the well-known neo-Riemannian group PLR to the classical five types of seventh chord (dominant, minor, half-diminished, major, diminished) considered as tetrachords with a marked root and proving that it is isomorphic to the abstract group \(S_5 \ltimes \mathbb {Z}_{12}^4\). This group includes as subgroups the PLR group and several other groups already appeared in the literature.

Il Chomp: Presentazione e prime domande

Tutto comincia da una tavoletta di cioccolata con 4 × 5 quadratini. L’ultimo in basso a sinistra e contrassegnato: si tratta di un quadratino avvelenato.

Risposte: Giochi combinatori finiti e la ‘mossa rubata’

Per rispondere alle Domande 1.2 e 1.3 sulla esistenza di una strategia vincente per il Chomp, la cosa migliore da fare e ‘allargare l’orizzonte’ e studiare una famiglia di giochi piu vasta, a cui il Chomp appartiene.

In primo piano: Il principio di induzione

Nei primi capitoli sono apparse varie dimostrazioni ‘per induzione’. Ci sembra importante approfondire la conoscenza di questa tecnica: ne daremo una presentazione informale e la illustreremo con qualche nuovo esempio.

Il Quindici: Presentazione e prime domande

Molti fra i lettori si saranno divertiti a giocare al gioco del 15, uno dei piu celebri fra i giochi con ‘blocchetti mobili’ che possono scorrere attraverso spazi vuoti.

Risposte: Invarianti e algoritmi

L’intuizione (accompagnata da numerosi tentativi …) suggerisce al giocatore esperto che la risposta alla Domanda 7.1 debba essere: ‘no, non e possibile vincere partendo dalla configurazione di Chapman’. Ma ci si rende subito conto che e difficile poter motivare questa intuizione con un ragionamento per casi: il numero di tutte le combinazioni di mosse possibili e troppo alto e bisognerebbe mostrare che nessuna di queste combinazioni porta dalla configurazione di Chapman alla configurazione di base…

Variazioni sul tema

Lasciamo (apparentemente) il Chomp e descriviamo ora un gioco che si svolge all’interno dell’insieme D dei divisori interi positivi di un numero intero dato, per esempio 120, e che chiameremo quindi gioco dei divisori. Il primo giocatore sceglie un divisore d del numero dato, e la sua ‘mossa’ consiste nel togliere dall’insieme D il numero d e tutti i suoi multipli. Il secondo giocatore ripete l’operazione con cio che resta di D (deve comunque levare almeno un numero), e cosi via. Perde chi toglie il piu piccolo divisore, cioe 1. Si puo formulare questo gioco anche ricorrendo alla scomposizione del numero dato nei suoi fattori primi.

In primo piano: Poligoni, poliedri, perplessità e topologia

La relazione di Eulero per i grafi (Teorema 22.5) e all’origine della famosa ‘formula di Eulero per i poliedri’. Vorremmo rileggerla da questo punto di vista per valorizzarla pienamente, fino a presentarla come un invariante topologico. Abbiamo ritenuto opportuno utilizzare, per una prima introduzione a questi argomenti, un linguaggio meno rigoroso ma piu immediato e intuitivo.

In primo piano: Il teorema di Brouwer e primi assaggi di topologia

In questo ‘primo piano’ presenteremo due teoremi di natura topologica. Nel primo paragrafo daremo informazioni (senza dimostrazione) sul teorema della curva di Jordan nel suo enunciato piu generale, in cui la curva poligonale presente nella versione ‘semplificata’ (Teorema 14.6) viene sostituita da una qualunque curva semplice chiusa. Nel secondo paragrafo invece dimostreremo il famoso teorema di Brouwer che afferma che una funzione continua da un quadrato in se ha almeno un punto fisso. Come elemento essenziale della dimostrazione utilizzeremo il teorema dell’Hex, svelando cosi il significato profondo dell’assenza di ‘patte’ nell’Hex.