Marilyn K. Gordon

Automatic Solution of the Sturm-Liouville Problem

A general purpose algorithm is described for the automatic computation of eigenvalues and eigenfunctions of Sturm-Llouvllle problems, both singular and nonsmgular The method is based on the solution of initial value problems, using an integrator with a built-in global error estimating capabihty Problems arising in the construction of a satisfactory algorithm for this task are described, as are some of the software engineering aspects The resulting algorithm has performed satisfactorily on a sizable list of test problems

Fehlerschätzung und Fehlersteuerung

In diesem und dem nachsten Kapitel diskutieren wir die Schatzung der Fehler, die wahrend der Integration durchgefuhrt wird, und die Anpassung von Schrittweite und Ordnung, um diese Fehler zu steuern, wobei wir das Problem trotzdem noch effizient losen wollen. Es gehort sehr viel Geschicklichkeit dazu, da die zugehorige Theorie entweder nur fragmentarisch oder auf irgendeine Weise unrealistisch ist. Dieses Kapitel behandelt die theoretischen Gesichtspunkte der Fehlerschatzung und Fehlerkontrolle; das nachste kombiniert diese Ergebnisse mit mehr heuristischen Argumenten und Erfahrungen, um dann die tatsachlichen Algorithmen zu entwickeln.

Auswahl von Ordnung und Schrittweite

In diesem Kapitel entwickeln wir Algorithmen fur die Auswahl von Schrittweite und Ordnung, die auf den Untersuchungen der vorhergehenden Kapitel beruhen. Obwohl das Hauptziel der Algorithmen ist, ein Problem mit moglichst wenigen Auswertungen der Gleichung zu integrieren, gibt es andere wichtige Uberlegungen. Die wichtigsten von diesen sind Stabilitat, Overhead, die Richtigkeit der theoretischen Grundlagen und das Erkennen von Problemen, die auserhalb der Klasse liegen, fur die die Codes bestimmt sind.

Grundlagen der Theorie

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Funktion und deren Ableitung enthalt. In der Analysis begegnet man den Losungen einer Zahl von Differentialgleichungen, obwohl sie nicht immer als solche beschrieben sind. Wenn zum Beispiel f(x) eine stetige Funktion auf einem Intervall [a, b] ist, dann hat die Gleichung

Effiziente Implementation der Adams-Verfahren

\frac{{dy}}{{dx}} = f(x)

Die Leistung der Codes und ihre Bewertung

(1) nach dem Fundamentalsatz der Analysis eine Losung

Konvergenz und Stabilität — kleine Schrittweiten

y(x) = B + \int\limits_a^x {f(t)dt}