Max Hoffmann

Von den ganzen zu den rationalen Zahlen

Von den ganzen zu den rationalen Zahlen uberzugehen, heist nichts anderes, als Bruchrechnung einzufuhren. Ahnlich wie im Falle der ganzen Zahlen erhalt man die rationalen Zahlen als Aquivalenzklassen von Paaren von (dieses Mal ganzen) Zahlen. In diesem Fall ist das Konzept auch leicht zu motivieren, denn jeder weis, dass man eine Bruchzahl unterschiedlich darstellen kann, zum Beispiel indem man den Bruch erweitert oder kurzt. Die beiden Zahlen, die zusammen das die Zahl definierende Zahlenpaar bilden, sind einfach Zahler und Nenner. Man kann Bruche addieren und multiplizieren, und naturlich ist uns bewusst, dass das Addieren von Bruchen gewisse Tucken hat und man eben nicht „Zahler plus Zahler und Nenner plus Nenner“ rechnen kann. Die systematische Untersuchung der Addition von Bruchen als Addition von Aquivalenzklassen ermoglicht eine genaue Analyse dieser Tucken und erklart, warum sie nicht vermeidbar sind.

Kommutative Ringe und Körper

Kommutative Ringe sind die Formalisierung von Strukturen mit zwei Verknupfungen, einer Addition und einer Multiplikation, wie man sie auf ganzen Zahlen, ihren Restklassen sowie den rationalen oder reellen Zahlen hat. Die beiden letzteren haben eine Zusatzeigenschaft: Nimmt man die Null heraus, so erhalt man mit der Multiplikation als Verknupfung eine abelsche Gruppe. Korper sind nichts anderes als kommutative Ringe mit dieser Zusatzeigenschaft. Wichtig fur kommutative Ringe und Korper ist, dass Addition und Multiplikation durch eine Eigenschaft verbunden sind, die man Distributivgesetz nennt, die in der Schule als Rechenregel mit der Bezeichnung „Ausklammern“ bzw. „Ausmultiplizieren“ (je nachdem, in welcher Richtung man die Regel anwendet) gelaufig ist. Das Distributivgesetz erklart, warum additive Konzepte wie die Null auch multiplikative Bedeutung haben: Multiplikation mit 0 liefert immer 0. Analog zum Fall der abelschen Gruppen kann man fur Ringe und Korper aus wenigen Grundannahmen Rechenregeln ableiten, die die Basis fur die aus der Schule bekannten Rechenregeln uber das Zusammenspiel von Addition und Multiplikation bilden.

Mengen, Relationen, Funktionen

In vielen Bereichen werden neue Themengebiete oftmals mit einem hinfuhrenden Beispiel eingeleitet. Eine wesentliche Starke der Mathematik, die gleichzeitig auch eine hohe Hurde darstellt, besteht darin, von solch konkreten Beispielen abstrahieren zu konnen. Damit wird unter anderem die Grundlage geschaffen, erfolgreiche Konzepte und Methoden von einem mathematischen Bereich in einen anderen zu transferieren. Die Sprache, die diese Abstraktionen erlaubt, ist die sogenannte Mengenlehre. Mit ihr ist es zum Beispiel moglich, komplexe mathematische Gebilde zu Elementen einer Menge zusammenzufassen und diese nun anders, namlich als einfache Objekte, zu interpretieren. Weiterfuhrend lassen sich dann komplexe Beziehungen zwischen solchen Objekten als einfache Relationen beschreiben. Der grose Nutzen beruht letztendlich darauf, dass sich dann umgekehrt die an den einfachen Objekten getestete Methode auf komplexe Situationen anwenden lasst. Fur das Mathematikstudium sind elementare Kenntnisse der naiven Mengenlehre praktisch von Anfang an unerlasslich. Die allereinfachsten Konzepte werden in Kapitel 1 thematisiert. Wir wollen nun etwas tiefer in die Mathematik einsteigen und mussen uns dafur mit den grundlegenden Konzepten dieser Lehre vertraut machen.

Vollständige geordnete Körper

In den beiden vorangegangenen Kapiteln gingen wir zunachst von verschiedenen Beispielen aus, stellten fest, dass diese gleiche Eigenschaften aufwiesen, und abstrahierten dann, um zu erkennen, wieso in all diesen Beispielen gleichartige Regeln gelten. Wir bewegten uns also von konkreten Beispielen hin zur abstrahierten Formalisierung. Bei der Einfuhrung der reellen Zahlen gehen wir genau umgekehrt vor. Wir starten mit abstrakten Eigenschaften, den Axiomen eines vollstandigen geordneten Korpers, und zeigen erst viel spater, dass es dafur ein Beispiel gibt. Der Umstand, dass es im Wesentlichen auch nicht mehr als dieses eine aufwendig zu konstruierende Beispiel gibt, illustriert den Grund fur diese veranderte Vorgehensweise. Anstatt mit einem kompliziert zu beschreibenden Objekt zu arbeiten, arbeitet man nur mit einfach zu beschreibenden Eigenschaften dieses Objekts, die das Objekt aber im Wesentlichen eindeutig festlegen. Das vereinfacht den Einsatz der reellen Zahlen in darauf aufbauenden Theorien wie der Differenzial- oder der Integralrechnung ganz erheblich. Es hat aber auch ganz konkrete Auswirkungen auf die Moglichkeiten, sich die Inhalte dieses Kapitels zu erarbeiten. Anstatt durch das Studium einfacher Beispiele eine Intuition fur vollstandige geordnete Korper aufzubauen, wie das im Fall von abelschen Gruppen moglich ist, muss man sich dieser Struktur durch das Studium einfacher Schlussfolgerungen aus den Axiomen nahern. Dementsprechend sind die in den Studienmaterialien enthaltenen Beispiele keine Beispiele fur Objekte, die die Axiome eines vollstandigen geordneten Korpers erfullen, sondern Beispiele fur logische Konsequenzen aus den Axiomen. Das macht die Beispiele nicht komplizierter, aber doch ein Stuck abstrakter. Um diese Problematik etwas abzufedern, geben wir eine Reihe von konkreten Beispielen an, die nur einen Teil der Axiome erfullen.

Die Vollständigkeit der reellen Zahlen

In Kapitel 14 wurde ein geordneter Korper konstruiert, der die rationalen Zahlen enthalt und unser Kandidat fur ein Modell der reellen Zahlen ist. Um das Programm abzuschliesen, muss man nur noch nachweisen, dass dieser geordnete Korper vollstandig im Sinne von Kapitel 9 ist. Anschaulich entspricht das der leicht zu verstehenden Aussage, dass es keine Locher im Zahlenstrahl gibt. Um einen sauberen Beweis der Vollstandigkeit zu geben, muss man allerdings auf praktisch alle Techniken zuruckgreifen, die wir in diesem Buch besprochen haben. In dieser Hinsicht ist die Vollstandigkeit der reellen Zahlen ein Kulminationspunkt dieses Buches. Fur die Analysis, insbesondere die Differenzial- und Integralrechnung, ist dies der Startpunkt.

Addition und Multiplikation auf den natürlichen Zahlen

In Kapitel 10 haben wir die naturlichen Zahlen auf eine sehr formale Art und Weise eingefuhrt. Doch wir haben mit ihnen nicht mehr gemacht als gezahlt. In diesem Kapitel gehen wir den Schritt vom Zahlen zum Rechnen. Damit wird deutlich, dass die abstrakten Modelle der naturlichen Zahlen tatsachlich auch dem entsprechen, was wir in der Schule gelernt haben.

Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen

Historisch und begrifflich ist es ein weiter Weg von den naturlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen. Schon die Erweiterung der naturlichen Zahlen um die Null wurde nur in zwei Kulturen unabhangig voneinander vollzogen: bei den Babyloniern und bei den Mayas. In heutiger Zeit wird man schon als kleines Kind mit dem Konzept einer negativen Zahl vertraut gemacht, sodass es schwerfallt, die historische Leistung dabei zu wurdigen. Mit den in den fruheren Kapiteln entwickelten Begriffen von Mengen und Aquivalenzrelationen ist es tatsachlich auch nicht sehr kompliziert, die ganzen Zahlen ausgehend von den naturlichen Zahlen samt Addition und Multiplikation zu konstruieren sowie die gangigen Rechenregeln zu beweisen. Dabei werden wir das bereits wohlbekannte Konzept von Aquivalenzklassen verwenden. Hierzu stellen wir ganze Zahlen als Differenz von naturlichen Zahlen dar.

Von den rationalen zu den reellen Zahlen

Erinnern wir uns daran, was auf unserem letzten Stuck Weg geschehen ist: Ausgehend von der Menge der naturlichen Zahlen, deren Elemente wir addieren und multiplizieren konnen und dabei als Ergebnis jeweils wieder eine naturliche Zahl bekommen, stellten wir fest, dass Subtraktion und Division gewisse Schwierigkeiten bereiten. Bilden wir namlich Differenz und Quotient zweier naturlicher Zahlen, so erhalten wir nicht unbedingt wieder eine naturliche Zahl. Dementsprechend erweiterten wir unseren Zahlbereich erst von den naturlichen zu den ganzen Zahlen (damit war das Problem mit der Subtraktion gelost) und dann von den ganzen zu den rationalen Zahlen (was das Problem mit der Division lost). Schon die alten Griechen haben bemerkt, dass es nicht moglich ist, das Verhaltnis der Langen einer Seite und einer Diagonalen eines Quadrats als Bruch zweier ganzer Zahlen zu schreiben. Diese Aussage ist gleichbedeutend damit, dass es keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat 2 ist. Ende des 19. Jahrhunderts ist man den Schritt gegangen, das Diagonalenproblem durch Erweiterung des Zahlbegriffs zu losen. Das war die Geburtsstunde der reellen Zahlen. Wir prasentieren hier nicht die historisch erste Konstruktion der reellen Zahlen, sondern wahlen eine Konstruktion, die einerseits immer noch gewisse Parallelen zu den in den vorherigen Kapiteln vorgestellten Zahlbereichserweiterungen aufweist und andererseits in modifizierter Form in diversen Bereichen der Mathematik eine wichtige Rolle spielt: die Beschreibung als Aquivalenzklassen von Folgen rationaler Zahlen.

Aussagenlogik und Widerspruchsbeweise

Beweise sind in der Schule allgemein unbeliebt. Meist werden sie entweder gar nicht behandelt oder „uberlesen“. Mit dem Beginn des Mathematikstudiums tauchen sie dann haufiger auf, und es ist sehr ratsam, Beweise nicht mehr zu ignorieren, denn ihr Wert ist nicht zu unterschatzen. Beweise sichern die Gultigkeit mathematischer Aussagen, sodass wir diese Aussagen in weiteren Argumenten benutzen durfen. Daruber hinaus offenbaren sie uns, warum eine Aussage gilt, und liefern damit viele Informationen, die hilfreich fur unser mathematisches Verstandnis sind. Des Weiteren stecken in ihnen viele mathematische Techniken und in der Regel die Rechentricks, die fur das Losen der Ubungsaufgaben sehr hilfreich sind. Doch was erwartet Sie nun in diesem Kapitel? Naturlich: Es geht um Beweise. Erinnern wir uns an Kapitel 4. Dort wurden am Beispiel des grosten gemeinsamen Teilers bereits zwei Beweistechniken vorgestellt: einen Existenzbeweis, der darauf beruht, dass in Mengen von naturlichen Zahlen immer ein kleinstes Element existiert, und einen algorithmischen Beweis, der das gesuchte Element direkt berechnet. In diesem Kapitel soll eine weitere Technik, der Beweis durch Widerspruch, besprochen werden. Um das zu realisieren, mussen einige Grundbegriffe der Aussagenlogik eingefuhrt werden. Als Anwendung der Beweistechnik prasentieren wir den vielleicht beruhmtesten Widerspruchsbeweis der Mathematikgeschichte: Euklids Beweis dafur, dass die Menge der Primzahlen nicht endlich sein kann.

Größter gemeinsamer Teiler

An dieser Stelle betrachten wir ein aus der Schule bereits bekanntes Objekt: den grosten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier naturlicher Zahlen. Selbstverstandlich ist es sofort moglich, den ggT(8, 28) zu nennen, doch wie steht es um den ggT(213, 912)? Gibt es ein Verfahren zu dessen Bestimmung, bzw. gibt es Eigenschaften, die die Berechnung vielleicht erleichtern? Um auf diese Fragen eine sauber formulierte und begrundete Antwort geben zu konnen, bedienen wir uns zunachst der mengentheoretischen Sprache.