Oswald Riemenschneider

Über die Anwendung algebraischer Methoden in der Deformationstheorie komplexer Räume

Es handelt sich um einen Beweis der folgenden Sätze, die zuerst von Grauert angegeben wurden (Publ. Math. I.H.E.S. No. 5, 1960; vgl. dies Zbl.100, 80 (1963)):Es seif:X →Y eine eigentliche holomorphe Abbildung komplexer Räume, sei einef-platte kohärente analytische Garbe überX; es bezeichneXy die Faser vonf über einem Punkty ∈Y und die analytische Einschränkung von aufXy. Dann gilt: (I) Die Funktionendq(y)=dimℂHq (Xy, sind halbstetig nach oben. (II) Ist für einq ∈ ℤ die Funktiondq(y) konstant undY reduziert, so ist dieq-te direkte Bildgarbe von unterf lokal frei überY. (III) Die Euler-Poincaré-Charakteristikx(y)=∑(−1)q dimHq(Xy,) ist lokal konstant überY. — Der Beweis benutzt systematisch den Begriff des „Steinschen Kompaktums“ (= kompakte semianalytische Menge mit Steinscher Umgebungsbasis). Mit Hilfe der von Frisch bewiesenen Tatsache, daß die Algebra der Schnitte in der Strukturgarbe eines komplexen Raumes über einem Steinschen Kompaktum noethersch ist (Invent. Math.4, 118–138 (1967); vgl. dies Zbl.167, 68 (1969)), gelingt es, die Grothendieckschen Methoden im algebraischen Fall (EGA III) auf die analytische Situation zu übertragen.

MCKAY CORRESPONDENCE FOR QUOTIENT SURFACE SINGULARITIES

The original McKay correspondence establishes a bijection between the set of conjugacy classes of finite subgroups Γ ⊂ SL (2, C) (that is-by abuse of language-the set of binary polyhedral groups) and the set of Dynkin– diagrams of type ADE via representation theory of Γ. This correspondence can be interpreted geometrically by i) associating to a (finite dimensional complex) representation of Γ geometric objects on the Klein singularity X Γ := C 2 / Γ resp. on its minimal resolution X Γ , and ii) studying their intersection behaviour with the irreducible components of the exceptional divisor E Γ. For general quotient surface singularities X Γ , Γ a finite (small) subgroup of GL (2, C) , the situation is more complicated since there exist always fewer irreducible components of E Γ than nontrivial irreducible representations. Nevertheless, one has a similar McKay correspondence if one considers only the smaller class of special representations. I will discuss these older results together with a recent construction of X Γ in terms of a Γ–invariant Hilbert scheme which gives a new understanding of the classical and the generalized geometric McKay correspondence.