P. Furlan

O 4 Π C analysis of possible composite lepton states generated by weak interactions

SummaryThe possibility of existence of lepton-antilepton massless vector bound states due to weak interactions is investigated with the help of a spinor-spinor Bethe-Salpeter equation in the ladder approximation. A phenomenological kernel is used, reproducing at large distances thex−6 behaviour of the long-range forces due to exchange of neutrino pairs between leptons and being logarithmically divergent at short distances. After expansion of the amplitude intoO4ΠC generalized harmonics, the equation is reduced to three systems of coupled Fredholm integral equations for the spectral functions, each system corresponding to differentO4 and/orΠC quantum numbers. In the zeroth-order approximation the form factor of the vertex is given for general values of the quantum numbers, and the relative effective renormalized coupling constant computed. It turns out that the only physically acceptable solutions correspond to bound states of spin 1,ΠC=+1. They may belong either to the representation (1/2, 1/2) ofO4 or to (1, 0)⊕(0, 1); in the former case the effective renormalized coupling constant turns out to be a pure number (2π√3), while in the second case its value depends on the masses of the constituent leptons and, for the electron, is about 0.70.RiassuntoSi studia la possibile csistenza di stati legati vettoriali a massa nulla leptoneantileptone, dovuti alle interazioni deboli, tramite un’equazione di Bethe-Salpeter spinore-spinore in approssimazione a scala. Si usa un nucleo fenomenologico, riproducente alle grandi distanze l’andamento delle forze a lungo raggio dovute allo scambio di coppie di neutrini fra i leptoni, e divergente logariticamente alle piccole distanze. Dopo aver sviluppato l’ampiezza in armoniche generalizzate di ridotta a tre sistemi di equazioni integrali accoppiate di Fredholm per le funzioni spettrali, corrispondendo ciascun sistema a numeri quantici differenti diO4 e/oΠC. Si dà il fattore di forma del vertice in approssimazione d’ordine zero per valori generici dei numeri quantici e si calcola la relativa costante di accoppiamento rinormalizzata effettiva. Risulta che le uniche soluzioni fisicamente accettabili corrispondono a stati legati con spin 1,ΠC=+1. Esse possono appartenere alla rappresentazione (1/2, 1/2) diO4 oppure a quella (1, 0)⊕(0,1); nel primo caso risulta che la costante di accoppiamento rinormalizzata effettiva è un numero puro (2π√3), mentre nel secondo caso il suo valore dipende dalle masse dei leptoni costituenti e, per l’elettrone, è circa 0.70.РеэюмеС помошью спинор-спинорного уравнения Бете-Салпетера в лестничном приближении исследуется воэможность сушествования беэмассовых лептон-антилептонных векторных свяэанных состояний, обраэованных в реэультате слабых вэаимодействий. Испольэуется феноменологическое ядро, которое воспроиэводит на больщих расстоянияхx−6 поведение для длиннодействуюших сил, обусловленных обменом пар нейтрино между лептонами, и является логарифмически расходяшимся на малых расстояниях. После раэложения амплитуды поO4ΠC обобшенным гармоникам рассматриваемое уравнение сводится к трем системам свяэанных интегральных уравнений Фредгольма для спектральных функций, причем, каждая система соответствует раэличнымO4 или раэличным ПО квантовым числам или раэличнымO4 и раэличным ПО квантовым числам одновременно. В нулевом приближении приводится форм-фактор верщины для основных эначений квантовых чисел и вычисляется относительная зффективная перенормированная константа свяэи. Окаэывается, что только фиэически приемлемые рещения соответствуют свяэанным состояниям для спина 1,ПC=+1. Они могут принадлежать либо представлению (1/2, 1/2)O4 или (1, 0)⊕(0, 1). В первом случае зффективная перенормированная константа свяэи равна просто числи (2π√3), тогда как во втором случае эначение зффективной перенормированной константы свяэи эависит от масс составляюших лептонов и для злектрона зта величина составляет около 0.70.

Minimal models of U(1) conformal current algebra

A detailed study of the degenerate representations of the U(1)×U(1) conformal current algebra and field‐theoretical models based on it is presented. The main peculiarity of these models is that they contain an infinite set of fields with unfixed anomalous dimensions. Simple fusion rules for these fields are found, and their four‐point functions are calculated explicitly. The case of Thirring‐like two‐dimensional models is discussed in detail.

Quasiprimary composite fields and null vectors in critical Ising‐type models

Operator product expansions (OPE’s) are studied in unitary ‘‘minimal conformal models’’ on the circle. The presence of null vectors at a certain level (signaled by the the vanishing of Kac’s determinant) leads to linear relations among SU (1,1)‐covariant (‘‘quasiprimary’’) fields at that level. In the Ising model this is shown to imply the proportionality of two composite tensor currents of dimension 6 and the vanishing of 4 among the first five composite fields expected to appear in the OPE of the stress energy tensor and the canonical Fermi field (of weight 1/2 ). For the supersymmetric tricritical model it only implies the vanishing of the quasiprimary Fermi current of dimension (9)/(2) .

AreSO2N,2-covariant spinor wave equations also « conformal »covariant?

SummaryWe study the covariance properties of Murai’s, Dirac-Murai’s and Todorov’s spinor wave equations in the wholeM2N,2 space with respect to SO{2N,2} group rotations. These rotations are in two-to-one correspondence with the conformai transformations in theM2N,2-1,1 space, obtained by imposing the η2= 0 cone condition on theM2N,2co-ordinates {ηA} and passing to homogeneous co-ordinates. We investigate if and how the above-mentioned equations keep their covariance with respect toSO2N,2group rotations,i.e. with respect to conformai transformations in the M2N-1,1 space, as soon as the η2 = 0 constraint is imposed.RiassuntoSi studiano le proprietà di covarianza delle equazioni d’onda spinoriali di Murai, di Dirac-Murai e di TodoTov in tutto lo spazioM2N,2rispetto alle rotazioni del gruppoSO2N,2. Queste rotazioni sono in corrispondenza due a uno con le trasformazioni conformi nello spazio M2N-1,1, ottenuto imponendo la condizione di cono η2 = 0 sulle coordinate {ηA} diM2N,2e passando a coordinate omogenee. Si investiga se ed in qual modo le summenzionate equazioni mantengano la loro covarianza rispetto alle rotazioni del gruppoSO2N,2, cioè rispetto alle trasformazioni conformi nello spazio M{2N-1,1}, allorché è imposto il vincolo η2 = 0.РезюмеМы исследуем свойства ковариантности волновых спинорных уравнений Мурея, Дирака-Мурея и Тодорова во всем пространстве M2N,2 относительно вращений группы SO2N,2-Эти вращения соответствуют два к одному конформным преобразованиям в пространстве M2N-1,1, полученном при наложении условия конуса η2 = 0 на координаты {ηA} пространства М2N,2 и переходя к однородным координатам. Мы исследуем, являются ли и каким образом вышеуказанные уравнения сохраняют ковариантность относительно вращений группы SO2N,2, т.е. относительно конформных преобразований в пространстве М2N-1,1, как только налагается ограничение η2 = 0.

Properties of possible composite lepton states induced by neutrinos

SummaryIn the hypothesis that the long-range forces due to exchange of neutrino pairs between leptons remain unaltered up to distances of the order of the square root of the Fermi coupling constant, the possibility of existence of lepton-antilepton massless vector bound states is considered and studied with a Bethe-Salpeter equation in the ladder approximation. The equation is reduced to a system of coupled Fredholm integral equations for the spectral function of the vertex free-lepton-bound-state. In the zeroth-order approximation the form factor of the vertex is given and the effective renormalized coupling constant computed. It turns out to be rather insensitive to the dependence of the neutrino forces from the distance near the origin (with exception of the Coulomb dependence) and in our approximation it results about 7 times larger than the electric one. This result is interpreted as an indication that also for leptons the electromagnetic vertex must be conceived as belonging to a higher-symmetry invariant vertex.RiassuntoNell’ipotesi che le forze a lungo raggio dovute allo scambio di coppie di neutrini tra leptoni agiscano fino a distanze dell’ordine della radice della costante di Fermi, si considera la possibile esistenza di stati legati leptone-antileptone, vettoriali di massa zero, a mezzo di una equazione di Bethe-Salpeter. L’equazione si riduce ad un sistema di equazioni di Fredholm per la funzione spettrale del vertice leptoni liberi-stato legato. Nell’approssimazione di ordine zero si dà il fattore di forma del vertice e si calcola la costante d’accoppiamento rinormalizzata. Questa risulta poco dipendente dalla forma della regolarizzazione e dall’andamento delle forze neutriniche a distanze molto piccole. Nelle nostre approssimazioni la costante d’accoppiamento risulta all’incirca sette volte più grande della carica elettrica. Questo risultato è interpretato come un’indicazione che anche per i leptoni il vertice elettromagnetico è una componente di un vertice invariante rispetto a un gruppo di simmetria più elevato che nonU1.РеэюмеРассматривается воэможность сушествования лептон-антилептонных векторных свяэанных состояний с нулевой массой, предполагая, что длиннодейст-вуюшие силы, обусловленные обменом нейтринных пар, между лептонами сохра-няются неиэменными вплоть до расстояний порядка квадратного корня иэ фер-миевской константы свяэи. Исследование проводится с помошью уравнения Бете-Салпетера в лестничном приближении. Это уравнение сводится к системе свяэанных интегральных уравнений Фредгольма для спектральной функции верщины «сво-бодный лептон — свяэанное состояние». Приводится выражение форм-фактора верщины в нулевом приближении и вычисляется зффективная перенормированная константа свяэи. Окаэывается, что зтот реэультат довольно нечувствителен к эави-симости нейтринных сил от расстояния вблиэи источника (эа исключением куло-новской эависимости) и в нащем приближении константа свяэи в семь раэ больще, чем злектрическая. Этот реэультат интерпретируется как укаэание, что также для лептонов злектромагнитная верщина должна рассматриваться, как принадлежашая инвариантной верщине более высокой симметрии.

Indecomposable representations of the conformal group: A nonsingular photon‐Weyl graviton system

A large class of nonelementary indecomposable representations of G=SU(2,2) is constructed and the invariant integral operators are found. An example describing a photon and a linear Weyl graviton field along with some auxiliary fields is studied. A nonsingular Lagrangian for the system is given. The pure, linear Weyl gravity with a conformal invariant gauge fixing condition arises as a particular case.

Generalized Euler angles as intrinsic coordinates for nonlinear spinors

Among the nonlinear spinor representations of the pseudo‐orthogonal rotation groups presented in a preceding work, those ones are considered, whose carrier spaces are isomorphic with group spaces. The general element of such groups is written as a product of one‐parameter subgroups, allowing, for the SO(ν,ν) and SO(ν+1,ν) cases, to write explicitly the nonlinear spinor components in terms of independent intrinsic coordinates satisfying the Cartan’s quadratic constraints.