Peter Steinke

Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von Stäben, Balken, Scheiben und Platten

Physikalische Probleme, die mit Hilfe der FEM gelost werden sollen, lassen sich haufig uber ein Integralprinzip beschreiben. Ein solches ist fur die nachfolgend betrachteten Dynamik-Probleme das Prinzip von Hamilton [5, 26, 32].

Knicken von Stäben und Balken

Das Versagen von Bauteilen tritt nicht nur durch Uberschreiten zulassiger Spannungen auf. Vielmehr kann bei schlanken Strukturen ein Verlust an Stabilitat zum Versagen fuhren. Dieser Stabilitatsverlust wird bei raumlichen Strukturen wie etwa Schalenproblemen durch einen Beulvorgang ausgelost. Bei Staben und Balken bezeichnet man diesen Vorgang als Knicken.

Platten- und Schalenelemente

Viele Tragwerke wie etwa Decken in Gebauden, Brucken oder Schiffsdecks stellen ein Plattenproblem dar. Die Platte und die Scheibe haben ahnliche Geometrievoraussetzungen. Wahrend aber die Belastung bei der Scheibe in der Scheibenebene liegt, steht diese bei der Platte normal zur Mittelflache der Platte.

Beispiele zu den Programmen

Nachfolgend werden einige Beispiele betrachtet, die mit „FEM_GEN“ aufbereitet und mit „FEM_CAS“ gelost werden. Die Computeralgebra liefert statt Zahlen algebraische Ausdrucke als Losung. Damit ergeben sich neue Moglichkeiten der Interpretation und Auswertung der Ergebnisse. Davon wird bei den Beispielen Gebrauch gemacht.

Beschreibung elastostatischer Probleme

Im folgenden werden die Grundgleichungen der linearen Elastostatik betrachtet. Es werden dabei zwei Schreibweisen verwendet, zum einen die symbolische Schreibweise. Zum anderen die Matritzenschreibweise, da sie im Rahmen der FEM fast ausschlieslich zum Einsatz kommt.

Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von Stäben und Balken

Das Funktional des eindimensionalen Stabes nach (255) wird um den Term ∫ V b u dV erweitert.

Beispiele zu den Computeralgebraprogrammen

Nachfolgend werden einige Beispiele mit FEM_CAS gelost. Die Computeralgebra liefert statt Zahlen algebraische Ausdrucke als Losung. Damit ergeben sich neue Moglichkeiten der Interpretation und Auswertung der Ergebnisse. Davon wird bei den Beispielen Gebrauch gemacht.

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

In Bild 6.1 ist eine allgemeine Lage des Stabes in der (x, y)-Ebene dargestellt. Es sind zwei Koordinatensysteme definiert. Ein lokales Elementkoordinatensystem (bar x,bar y,bar z,) dessen Ursprung mit dem Anfangsknoten i zusammenfallt. Die (bar x)-Achse zeigt vom Anfangsknoten i zum Endknoten j. Die (bar z)-Achse hat dieselbe Richtung wie die z-Achse, die aus der Zeichenebene heraus kommt Damit liegt auch die (bar y)-Achse fest.

Das eindimensionale Stabelement

Der Stab, wie er in Bild 5.1 abgebildet ist, ist ein Bauteil, das uber folgende Eigenschaften zu charakterisieren ist: n n nDie Hauptausdehnung in seiner Langsachse, die als x-Achse bezeichnet werden soll, ist sehr viel groser als die Abmessungen in y- und z-Richtung. Daher kann der Stab auf einen eindimensionalen Fall zuruckgefuhrt werden, da die Ausdehnung in y- und z-Richtung uber die Querschnittsflache A(x) beschrieben wird. n n nDer Stab kann nur Krafte F oder Streckenlasten q(x) in Richtung seiner Langsachse aufnehmen.

Beschreibung der Programme

Computeralgebra-Systeme (CAS) eroffnen neue Moglichkeiten in der Simulationstechnik. Statt mit Zahlen wird mit Symbolen gearbeitet. Es werden mathematische Operationen fur symbolische Ausdrucke durchgefuhrt. Damit lassen sich mit modernen CAS wie MAPLE [34] ganze Ableitungen eines Elementes programmieren. Zudem bieten solche Systeme Moglichkeiten der grafischen Auswertung. Im folgenden wird eine Ubersicht uber die Rechenprogramme gegeben, die auf der CD gespeichert sind.