Philippe Gille

La R-équivalence sur les groupes algébriques réductifs définis sur un corps global

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Invariants Cohomologiques de Rost En Caractéristique PositiveRost's Cohomological Invariants in Positive Characteristic

Let G/F be a semisimple algebraic group defined over a field F with characteristic p> 0. Let us denote byH(F,Qp/Zp(2)) the Galois cohomology group introduced by Kato. If p > 0, we show that thep-primary part of Rost’s invariant H1(F,G) → H(F,Qp/Zp(2)) lifts in characteristic 0. This result allows to deduce properties of the Rost invariant in positive characteristic from known properties in characteristic 0. The case of Merkurjev–Suslin’s invariant is specially interesting, i.e. if G/F = SL(D) for a central simple algebra D/F with degreep and class [D] ∈p Br(F) ≈ H2(F,Z/pZ(1)), one hasH1(F, SL(D)) = F×/Nrd(D×) and an element a ∈ F× is a reduced norm if and only if the ‘cup-product’ [ D] ∪ (a) is trivial in H3(F,Z/pZ(2)); one characterizes also in positive characteristic fields with p-dimension6 2 by the surjectivity of reduced norms. In a second part, we study Rost invariants when the base field is complete for a discrete valuation. As planned by Serre, invariants are then linked with Bruhat–Tits’ theory, this yields a new proof of their nontriviality. Mathematics Subject Classifications ( 2000):11E72, 20G10.

Conjugacy theorems for loop reductive group schemes and Lie algebras

The conjugacy of split Cartan subalgebras in the finite-dimensional simple case (Chevalley) and in the symmetrizable Kac–Moody case (Peterson–Kac) are fundamental results of the theory of Lie algebras. Among the Kac–Moody Lie algebras the affine algebras stand out. This paper deals with the problem of conjugacy for a class of algebras—extended affine Lie algebras—that are in a precise sense higher nullity analogues of the affine algebras. Unlike the methods used by Peterson–Kac, our approach is entirely cohomological and geometric. It is deeply rooted on the theory of reductive group schemes developed by Demazure and Grothendieck, and on the work of Bruhat–Tits on buildings. The main ingredient of our conjugacy proof is the classification of loop torsors over Laurent polynomial rings, a result of its own interest.

Remarques Sur L’Approximation Faible Sur Un Corps De Fonctions D’Une Variable

On etablit l’approximation faible pour les espaces homogenes de groupes lineaires connexes definis sur le corps des fonctions d’une courbe complexe. On en deduit la meme propriete pour les varietes qui se ramenentade tels espaces par fibrations successives. Ainsi l’approximation faible vaut pour une surface fibree en coniques au-dessus d’une droite. On montre par contre que l’approximation faible peut etre en defaut pour une surface d’Enriques. Mots clefs. Approximation faible, corps de fonctions d’une variable, espaces homogenes de groupes lineaires, surfaces de Del Pezzo, intersections de deux quadriques, surfaces d’Enriques.

Spécialisation de la -équivalence pour les groupes réductifs

Soit G/k un groupe reductif defini sur un corps k de caracteristique distincte de 2. On montre que le groupes des classes de R-equivalence de G(k) ne change pas lorsque lon passe de k au corps des series de Laurent k((t)), cest-a-dire que lon a un isomorphisme naturel G(k)/R G(k((t)))/R.

Arithmétique des groupes algébriques linéaires sur certains corps géométriques de dimension deux

Resume Soit K un corps de lun des types suivants : corps de fonctions algebriques de deux variables sur un corps algebriquement clos de caracteristique zero, ou corps des fractions dun anneau local excellent integre strictement henselien de dimension deux, de corps residuel de caracteristique zero. Nous montrons que les K -groupes algebriques lineaires satisfont la plupart des proprietes connues lorsque le corps de base est un corps de nombres (finitude de la R -equivalence, principe de Hasse pour les espaces homogenes complets).

Éléments unipotents des groupes algébriques semi-simples simplement connexes en caractéristique p > 0

Resume Soient k un corps de caracteristique p > 0 et G/k un groupe semi-simple simplement connexe. Nous demontrons le fait suivant conjecture par Tits. Si [ K : k p ] ≤ p , alors tout sous-groupe de G(k) constitue delements unipotents est contenu dans le radical unipotent dun k -sous-groupe parabolique de G . Paris