Rebecca Waldecker

Anhang A: Offene Fragen über Primzahlen

In diesem Abschnitt mochten wir auf einige bekannte Resultate und bisher ungel oste Probleme hinweisen, die alle mit Primzahlen zu tun haben. Wir erheben keinen Anspruch auf Vollstandigkeit und fuhren auch keine Beweise. Wir mochten nur einen Eindruck davon vermitteln, wie viele interessante Fragen noch Gegenstand aktueller mathematischer Forschung sind, und verweisen fur eine genauere Behandlung auf weiterfuhrende Literatur.

Der Satz von Agrawal, Kayal und Saxena

In diesem Kapitel wenden wir uns Punkt (1) aus Abschnitt 5.2 zu. Dabei ging es um eine naturliche Zahl n, die keine Primzahlpotenz ist, und einen Primfaktor p von n. Wir wollen zeigen, dass wir fur „geeignetes“ Q effizient ein Polynom P finden konnen derart, dass P(X) n ≠ P(X) n (mod p,Q) gilt.

Natürliche Zahlen und Primzahlen

Im ganzen Buch beschaftigen wir uns mit naturlichen Zahlen und der Frage, welche naturlichen Zahlen Primzahlen sind und welche nicht. Daher beginnen wir damit, uns an einige ihrer grundlegenden Eigenschaften zu erinnern und diese sorgfaltig herzuleiten. Zunachst behandeln wir das Prinzip der vollstandigen Induktion und definieren Teilbarkeit. Auf dieser Basis konnen wir den Euklidischen Algorithmus erarbeiten und anwenden und schlieslich beweisen, dass jede naturliche Zahl sich eindeutig als Produkt von Primzahlpotenzen schreiben lasst („Fundamentalsatz der Arithmetik“). Gegen Ende dieses ersten Kapitels betrachten wir den altesten bekannten Primzahltest – das sogenannte Sieb des Eratosthenes – und zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.