Robert Moussu

Symétrie et forme normale des centres et foyers dégénérés

Consider an analytic differential equation ο = adx + bdy with an algebraically isolated singularity and without a separatrix. The germ at 0∈ℝ 2 of the 1-jet y dy is either a focus or a centre. The equation has C∞ normal form of the type = with F ( x ) = F (− x ) if and only if the germ is a centre.

Champs de vecteurs analytiques et champs de gradients

A theorem of Łojasiewicz asserts that any relatively compact solution of a real analytic gradient vector field has finite length. We show here a generalization of this result for relatively compact solutions of an analytic vector field X with a smooth invariant hypersurface, transversally hyperbolic for X, where the restriction of the field is a gradient. This solves some instances of R. Thoms Gradient Conjecture. Furthermore, if the dimension of the ambient space is three, these solutions do not oscillate (in the sense that they cut an analytic set only finitely many times); this can also be applied to some gradient vector fields.

Singularités d’équations différentielles holomorphes en dimension deux

Soit ω = adx + bdy une 1-forme holomorphe sur un voisinage U d’un point u de ℂ2 et dont u est le seul point singulier. Les courbes integrales de l’equation de Pfaff ω = 0 sont les feuilles d’un feuilletage holomorphe F ω de U \ {a}. Dans les annees 70, R. Thom a pose de tres bonnes questions sur ces objets. Elles sont aujourd’hui resolues. Ce travail est essentiellement consacre a la preuve de la suivante: ω = 0 possede une integrale premiere holomorphe si et seulement si F ω possede un nombre fini de separatrices et si ses autres feuilles sont fermees. Il sagit surtout de montrer que la desingularisation et l’holonomie projective sont des outils precieux dans l’etude de telles singularites. Enfin, dans le dernier chapitre nous appliquons ces “outils” a des problemes de centres de champs de vecteurs analytiques.