Roland Gillard

Remarques sur les unités cyclotomiques et les unités elliptiques

Le but de la premiere partie de ce travail est de mieux comprendre la structure des groupes d’unitb cyclotomiques d’un corns abklien reel F intro- duits par H. Leopoldt [7]. On fait au passage le lien avec le groupe Cr introduit par H. Hasse dans le cas cyclique. Un resultat de J. Martinet joue un role fondamental, car il permet d’kcrire des Z-bases pour les difkents groupes d’unites utilists. Soient E le groupe des unites et h le nombre de classes de F. On prouve notamment qu’en remplacant le groupe des unites cyclotomiques formelles Co de F, par un groupe plus grand C2, la formule de Leopoldt [7, Satz 201 QG - h = [E : Co] devient Qg’ - h = [E: C”] ou Ql,“’ est un nombre en general beaucoup plus petit que Qc . 11 arrive meme, dans certains cas, que Q8’ ait un dtnominateur > 1; la formule prece- dente implique alors la divisibilitt de h par ce denominateur. On donne enfin une formule reliant h aux nombres de classes des sous-extensions cycliques de F/Q. Dans la deuxieme partie, on adapte au cas dune extension abelienne dun corps quadratique imaginaire, la methode employee dans la premiere partie. Le groupe d’unitts elliptiques V4 de [2] joue alors un role analogue a celui des unites cyclotomiques formelles. On l’agrandit de facon a diminuer notablement le facteur l/qH . (Nc)[Q/Gl/[G] du theorbme de [2]. M&me dans le cas cyclique, la formule reliant l’indice du groupe des unites elliptiques au nombre de classes, contient un facteur parasite, provenant des proprittts des ideaux Jc introduits par G. Robert dans [8]. Le 5 1 contient des notations gtnerales communes aux deux parties. Les rbultats principaux sont &on&s aux 0 2 et 6.

Transformation de Mellin-Leopoldt des fonctions elliptiques

Le but de cet article est de demontrer la nullite de “l’invariant p d’Iwasawa” dans le cas elliptique ordinaire avec nombre de classes 1. On peut presenter de deux facons le resultat principal: en termes d’extensions non ramifiees en dehors de p ou en termes de fonctions L p-adiques. L’equivalence entre les deux formulations resulte de la formule analytique (p-adique) du nombre de classes. Le resultat analogue pour les extensions abiliennes de Q est connu depuis 1978, [2]; il utilisait une notion d’independance en repartition modulo 1. Un article recent de W. Sinnott revient sur ce theoreme en proposant une nouvelle demonstration tres elegante dont le point clef est aussi une resultat d’independance, [lo]. Mais comme il s’agit maintenant d’indkpendunce algkhrique sur le tore G,,, ce point clef admet, comme on le constate assez rapidement, un analogue sur les courbes elliptiques, cf. 1.2 ci-dessous. I1 est done possible de transposer la methode de Sinnott au cas d’une extension abelienne F d’un corps quadratique imaginaire K et d’un diviseur premier p de degre 1 de K. Notons p le nombre premier en dessous de p. On introduit l’hypothese restrictive:

Provable Security against Impossible Differential Cryptanalysis Application to CS-Cipher

In this document we present a new way to bound the probability of occurrence of an n-round differential in the context of differential cryptanalysis. Hence this new model allows us to claim proof of resistance against impossible differential cryptanalysis, as defined by Biham and al. in 1999. This work will be described through the example of CS-Cipher, to which, assuming some non-trivial hypothesis, provable security against impossible differential cryptanalysis is obtained.