Rolf Busam

Die Systeme der reellen und komplexen Zahlen

Die zentralen Begriffe der Analysis wie Konvergenz, Stetigkeit, Integrierbarkeit, Differenzierbarkeit etc. basieren alle auf einem exakt definierten Zahlbegriff, dessen endgultige, befriedigende Prazisierung nach einer fast viertausendjahrigen Entwicklung erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts gelang.

Stetigkeit, Grenzwerte von Funktionen

Der Funktions- bzw. Abbildungsbegriff ist fur die Mathematik und ihre Anwendungen zentral. Wir beschaftigen uns daher zunachst etwas systematischer mit diesem Begriff, den wir an verschiedenen Stellen schon benutzt und dabei eine gewisse Vertrautheit mit ihm bereits vorausgesetzt haben.

Integralrechnung in mehreren Variablen

„Die mehrdimensionale Integration ist wahrscheinlich innerhalb der mathematischen Grundvorlesungen das unangenehmste Stoffgebiet“ (Otto Forster in [7]).

Elementare (transzendente) Funktionen

Wie schon in fruheren Kapiteln angedeutet wurde, sind Potenzreihen ein auserst wichtiges und leistungsfahiges Konstruktionsprinzip der Analysis.

Grundlagen der Integral- und Differenzialrechnung

Sowohl die Differenzial- als auch die Integralrechnung gehoren zum Kernbestand der Analysis, sie bilden den Inhalt des sogenannten „Calculus“. Beide gehen ursprunglich von geometrischen Fragestellungen aus. Bei der Differenzialrechnung etwa das Tangentenproblem fur Kurven oder die Bestimmung von Extremwerten. In physikalischer Hinsicht entspricht das etwa den Problemen der Bestimmung von Momentangeschwindigkeiten oder Momentanbeschleunigungen, allgemeiner ausgedruckt der Bestimmung der momentanen Anderungsrate einer Grose.

Metrische Räume und ihre Topologie

Ein allgemeines begriffliches Konzept fur die Behandlung der in der Analysis und ihren Anwendungen auftretenden Funktionen und Abbildungen stellen die metrischen Raume und ihre Spezialfalle, die normierten Raume, dar. Allgemeiner ist der Begriff des topologischen Raumes, den wir in diesem Kapitel aber nur streifen werden. Wir nehmen hier einen schon fruher gesponnenen Faden etwas systematischer wieder auf.

Differenzialrechnung in mehreren Variablen

Die folgenden Fragen beziehen sich auf Differenzierbarkeitsbegriffe und Differenziationsregeln im Mehrdimensionalen sowie deren Anwendungen (lokale Extrema, lokaler Umkehrsatz, implizite Funktionen u. a.).

Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung

Die folgenden Fragen befassen sich mit verschiedenen Anwendungen der Differenzial und Integralrechnung und ihrem weiteren Ausbau. Die einzelnen Teile hangen nicht systematisch voneinander ab. Wir haben uns fur die folgenden Themen entschieden:

Determinanten — Kenngrößen von Matrizen

Zu jeder quadratischen Matrix A uber einem Korper K gibt es eine Kenngrose — ihre Determinante. Diese Zahl aus K gibt Aufschluss uber Eigenschaften der Matrix. So ist etwa eine Matrix A genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante von null verschieden ist. Und genau diese Eigenschaft ist es, welche die Determinante so wertvoll macht.

Zahlbereiche — Basis der gesamten Mathematik

Zahlen stellen eine wichtige Grundlage der gesamten Mathematik, speziell aber der Analysis dar.