Rolf J. Nessel

Negative Results in Connection with Favard’s Problem on the Comparison of Approximation Processes

Twenty years ago, at the first Oberwolfach conference “On Approximation Theory”, Favard posed the problem of the comparison of approximation processes. In connection with the classical uniform boundedness principle he pointed out that one feature of a solution to this complex problem would certainly consist in deriving significant negative results. The aim of the present note is to discuss the matter on the basis of our previous quantitative uniform boundedness and condensation principles.

Lax-Type Theorems with Orders in Connection with Inhomogeneous Evolution Equations in Banach Spaces

In this note we continue our previous investigations on Lax-type theorems with orders in the abstract setting of Banach spaces. Whereas the latter exclusively treat homogeneous problems in connection with time-independent operators A, we are now concerned with the numerical approximation of the solution of the more general intitial-value problem du(t)/dt=A(t)u(t) + g(t), u(0)=f. On the basis of the Sobolevski — Tanabe theory, Lax equivalence theorems with orders in the sense that stability, consistency,and convergence are considered with orders are derived, structural properties of the elements being measured via K- functional.

A Uniform Boundedness Principle with Rates and an Application to Linear Processes

It is shown that in the classical uniform boundedness principle the condition of strong (pure) boundedness of a sequence of bounded linear operators on a Banach space X may indeed be replaced by boundedness with rates on corresponding subsets of X. The method of proof employed is the gliding hump method but now equipped with rates. Some applications are given to linear polynomial convolution operators, regaining and extending relevant work of Dahmen — Gorlich 1974 and Baskakov 1977.

On the Sharpness of Error Bounds for the Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems by Finite Difference Schemes

The present paper studies the sharpness of error bounds obtained for approximate solutions of initial boundary value problems by finite difference schemes. Whereas the direct estimates in terms of partial moduli of continuity for partial derivatives of the (exact) solutions follow by standard methods (stability inequality plus Taylor expansion of the truncation error), the sharpness of these bounds is established by an application of a quantitative extension of the uniform boundedness principle. To verify the relevant resonance condition a general procedure is suggested, in contrast to our previous investigations which were based on rather specific properties of the discrete Greens functions associated. Exemplarily, details are worked out in connection with Crank . Nicolson, Du Fort-Frankel and Saulyev schemes.

Verbindungen zu direkten Approximationssätzen

In diesem Kapitel werden die Zusammenhange zwischen den im vorangegangenen Kapitel hergeleiteten quantitativen Beschranktheitsprinzipien und (bekannten) direkten Approximationssatzen in Banach Raumen untersucht. Zunachst steht in Abschnitt 3.1 die Bestmoglichkeit von Fehlerabschatzungen im Mittelpunkt. Dabei wird insbesonders die Rolle der Bedingungen an die Elemente hn weiter beleuchtet, so das dieser Abschnitt auch als ein Beitrag zur Interpretation dieser Bedingungen angesehen werden kann. Wahrend also in Abschnitt 3.1 die Scharfe von Konvergenzaussagen behandelt wird, werden diese in Abschnitt 3.2 daraufhin untersucht, ob die zu ihrer Herleitung benutzten Bedingungen auch notwendig sind. Die Ergebnisse werden — entsprechend dem klassischen Vorbild — als Aquivalenzsatze vom Banach — Steinhaus — Typ formuliert. Hierbei konnen (bekannte) Banach — Steinhaus Satze mit Ordnung insofern verscharft werden, als nun nicht mehr von Konvergenzaussagen auf dem ganzen Raum X, sondern nur noch von solchen auf einem Teilraum Xω ausgegangen werden braucht, um die Notwendigkeit der gleichmasigen Beschranktheit (Stabilitat) der Operatornormen nachzuweisen. Grundlage hierfur sind wieder die Beschranktheitsprinzipien aus Kapitel 2, die nicht nur gros — 0 — Banach — Steinhaus Satze, sondern auch solche mit klein — o — Ordnungen ermoglichen. Im letzten Abschnitt wird der bei der numerischen Losung sachgemas gestellter Anfangswertaufgaben zentrale Aquivalenzsatz von Lax (bzw. seine (bekannten) Versionen mit Ordnung) in analoger Weise behandelt. Tatsachlich konnen diese Satze als spezielle, dieser numerischen Fragestellung angepaste Varianten von Banach — Steinhaus Satzen angesehen werden; sie besagen, das bei gegebener Konsistenz die Stabilitat notwendig und hinreichend fur die Konvergenz eines Differenzenverfahrens ist (jeweils mit bzw. ohne Ordnung).

Quantitative Prinzipien gleichmäßiger Beschränktheit

In diesem Kapitel sollen zunachst die fur die Theorie notwendigen Definitionen und Hilfsmittel zusammengestellt werden. Uber eine mit Ordnungen versehene Methode des gleitenden Hokkers werden dann Beschranktheitsprinzipien sowohl mit gros — 0 — als auch mit klein — o — Ordnungen bewiesen. Dabei kann fur die gros — 0 —Version auch ein alternativer Beweis durch Reduktion auf das klassische Prinzip (ohne Ordnung) gegeben werden.

Anwendungen im Rahmen regulärer Biorthogonalsysteme

Die in diesem Kapitel zu behandelnden Anwendungen haben zumeist eine konkrete Vorlage in der Literatur eindimensionaler trigonometrischer Entwicklungen. Es soll hier jedoch nicht nur gezeigt werden, wie sich diese konkreten Resultate aus den allgemeinen Prinzipien der Kapitel 2/3 einheitlich deduzieren lassen, vielmehr ermoglicht die allgemeine Theorie sogar ihre Einbettung in den Rahmen von Biorthogonalsystemen in Banach Raumen. Die Behandlung der klassischen Vorlagen vollzieht sich somit in zwei Ebenen: Zum einen werden die klassischen Problemstellungen aus dem speziellen, eindimensional trigonometrischen Zusammenhang in den allgemeinen Rahmen regularer Biorthogonalsysteme, wie er in [58/60] entwickelt worden ist, gestellt. Zum anderen werden dann die nun anstehenden Probleme einheitlich mit Hilfe der Prinzipien aus Kapitel 2 diskutiert.

Theorems of Jackson and Bernstein for Polynomials of Best Approximation and for Singular Integrals

This chapter is devoted to a brief study on direct theorems of D. Jackson and inverse theorems of S. N. Bernstein which play a fundamental role in approximation of periodic functions. These will be established not only for trigonometric polynomials of best approximation but theorems of these two types will also be studied for particular singular integrals.

Saturation for Singular Integrals on X2π and Lp, 1 ≤ p ≤ 2

The problem of determining the optimal order of approximation of a function f by a sequence of polynomials allows two different interpretations: either one varies the sequence of polynomials that approximates an f satisfying given properties, or, one keeps the approximation process fixed and varies the properties of the function f to obtain the optimal order. In the former case one obtains a result on the best order of approximation En(X2π;f) for all f satisfying the given properties; but, in general, no information is available concerning the sequence of polynomials for which this optimal approximation is attained. In the latter case the result is that the approximation by the given process will be optimal for all functions belonging to a certain class, the so-called saturation class. The first interpretation is essentially due to P. L. Chebycheff (1857); the second was posed by J. Favard in 1947.

Finite Fourier Transforms

The plan of this chapter can be outlined as follows: Sec. 4.1 is concerned with a detailed treatment of the fundamental operational properties of the finite Fourier transform, including the Riemann-Lebesgue lemma and convolution theorem. Discussion of the inversion problem is kept to a minimum since it turns out to be the convergence problem for Fourier series. Indeed, the theory of periodic singular integrals of Chapter 1 enters in when considering summation processes. Of particular importance in later applications is Theorem 4.1.10 on the transform of derivatives of. Sec. 4.2 is devoted to the special features of the finite Fourier transform in L 2π p , p > 1. Although the definition of the transform for L 2π 1 -functions also applies to X 2π -functions, nevertheless several of its important properties are only valid under the additional assumption f∈L 2π p , p > 1. The Parseval equation (4.2.6) and Riesz-Fischer theorem for p = 2 and the Hausdorff-Young inequality (4.2.15) for 1 1. It may be regarded as precursory to Sec. 5.2, reserved to the definition and properties of Fourier transforms on L p ,p > 1. In particular, the clear and elegant results of Sec. 4.2 may serve as models of those to be expected in Sec. 5.2. Sec. 4.3 deals with the definition and properties of the finite Fourier-Stieltjes transform, including a detailed inversion theory. The classes V[X 2π,; ψ (k)] are introduced, and the fundamental Theorem 4.3.13 is derived in case ψ(k) = (ik) r .