Sadik Iliman

Rechnen mit komplexen Zahlen

Zunachst betrachten wir die – in fruheren Abschnitten bereits gestreiften – grundlegenden Konzepte komplexer Zahlen und ihre Umsetzung in Sage. Wir studieren die auf den komplexen Zahlen definierte Mandelbrot-Menge, die einerseits als weiteres Beispiel zu Rekursionen dient und andererseits interessante Phanome und einige ungeloste Probleme mit sich bringt.

Grundlegende Begriffe und Techniken

Wir stellen wichtige Notationen sowie Beweistechniken zusammen. Um den Leser auf das in den Kap. 3 und 5 vorgestellte Software-System Sage einzustimmen, geben wir vereinzelt bereits an, wie die behandelten Konzepte in diesem System reflektiert werden.

Anhang B: Lineare Algebra

Wir stellen einige Grundbegriffe der linearen Algebra zusammen, siehe etwa die Lehrbucher von Fischer [Fis14] oder Liesen und Mehrmann [LM15].

Anhang A: Analysis

Wir stellen einige Grundaussagen der Analysis zusammen, siehe beispielsweise die Lehrbucher von Forster [For13], Konigsberger [Kon04] oder Grieser [Gri15].

Das Software-System Sage

SageMath (fur Sage Mathematical Software System, kurz Sage) ist ein sehr umfangreiches mathematisches Software-System, das auf die Initiative des Mathematikers William Stein aus dem Jahr 2004 zuruckgeht, ein einheitliches Interface fur viele leistungsfahige, spezialisierte Software-Systeme zu schaffen. Sage verwendet beispielsweise die Programme Gap (Gruppentheorie), Pari (Zahlentheorie) sowie Singular (Computeralgebra), und die sich damit eroffnenden Moglichkeiten gehen weit uber das hinaus, was wir im Rahmen des vorliegenden Buches kennenlernen werden. Uber Schnittstellen kann es auch weitere Programme wie Maple, Mathematica, Matlab oder Octave ansprechen. Das Akronym Sage leitet sich von System for Algebra and Geometry Experimentation her.

Polynome und ihre Nullstellen

Polynome spielen in vielen Bereichen der Mathematik eine wichtige Rolle, und auch wir haben sie in diesem Buch bereits mehrfach angetroffen. Im vorliegenden Abschnitt studieren wir grundlegende und computerorientierte Aspekte der Nullstellen reeller und komplexer Polynome in einer Variablen. Bereits das Polynom f(x)=x 2+1 illustriert, dass es hierbei von wesentlicher Bedeutung ist, in welchem Korper wir die Nullstellen bestimmen. Wahrend sich die Strukturtheorie uber den komplexen Zahlen in vielen Aspekten als einfacher erweist, ist man gerade in Anwendungen oft besonders an reellen Nullstellen interessiert.

Computerorientierte lineare Algebra

Nachdem wir bereits in Abschn. 5.2 erste Spuren der linearen Algebra in Sage kennengelernt haben, betrachten wir nun einige vertiefende Aspekte der computerorientierten linearen Algebra sowie deren Umsetzung in Sage. Wir gehen davon aus, dass Sie, liebe Leserin und lieber Leser, mit den grundlegenden Begriffen der linearen Algebra vertraut sind und verweisen hierfur auch auf Kap. 13. Im Mittelpunkt unserer Betrachtungen stehen Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme, Determinanten sowie Eigenwerte. In den Abschn. 9.5 bis 9.6 beleuchten wir den euklidischen Algorithmus, Rekursionen sowie geometrische Drehungen und Spiegelungen vom Standpunkt der linearen Algebra. Schlieslich behandeln wir in Abschn. 9.7 eine Anwendung der linearen Algebra bei der Rangermittlung von Ergebnissen in Internet-Suchmaschinen.

Anhang C: Notation

In der nachstehenden Tabelle fuhren wir einige fur die Darstellung wichtige Symbole auf. Angegebene Seitenzahlen verweisen auf das jeweilige erste Auftreten.

Algorithmen und Rekursion

Im Zuge des Einstiegs in Sage haben wir in den vergangenen Kapiteln implizit bereits den Begriff des Algorithmus gestreift. In dem aktuellen Kapitel soll nun – als Grundlage fur spater untersuchte mathematische Algorithmen – der Begriff des Algorithmus und der Komplexitat eines Algorithmus eingehender untersucht werden. In besonderer Weise gehen wir hierbei auf das Prinzip der Rekursion ein. Fur einfache Typen rekursiv definierter Folgen zeigen wir, wie Losungen dieser Rekursionsgleichungen gewonnen werden konnen und untersuchen anhand der Ackermann-Funktion exemplarisch besondere Phanomene, die bei Rekursionen komplizierterer Bauart auftreten konnen. Das zum Abschluss des Kapitels dann behandelte Problem des Sortierens einer Zahlenfolge eignet sich gut, um bei der Analyse einige der Techniken fur Rekursionsgleichungen anzuwenden.

Computerorientierte Fallstudien natürlicher Zahlen

Im Rahmen einiger Fallstudien behandeln wir als Ausblick verschiedene Themenkomplexe auf den naturlichen Zahlen. Zunachst diskutieren wir zwei theoretisch interessante Fragen, das Collatz-Problem und das klassische Problem der Darstellbarkeit von Zahlen als Summe zweier Quadrate. Anhand dieser Fallbeispiele soll aufgezeigt werden, wie der Computer sich zum Experimentieren sowie zur algorithmischen Umsetzung struktureller Aussagen eignet. Anschliesend untersuchen wir computerorientierte Aspekte der zahlentheoretischen Partitionsfunktion, die auf unseren fruheren kombinatorischen Untersuchungen sowie dem Rekursionsprinzip beruhen.