Siegfried Prössdorf

Linear Integral Equations

A linear integral equation is an equation of the form

Spezielle Singuläre Gleichungen vom Normaltyp

\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda a(x)\varphi (x) - \int_{x} {k(x,y)\varphi (y)dv(y) = f(x)} ,} & {x \in X.} \\ \end{array}

Wiener-Hopfsche Integralgleichungen vom Nicht Normalen Typ und IHR Diskretes Analogon

(1) Here (X, v) is a measure space with σ-finite measure v, λ is a complex parameter, and a, k, f are given (complex-valued) functions, which are referred to as the coefficient, the kernel, and the free term (or the right-hand side) of equation (1), respectively. The problem consists in determining the parameter λ and the unknown function φ such that equation (1) is satisfied for almost all x ∈ X (or even for all x ∈ X if, for instance, the integral is understood in the sense of Riemann). In the case f = 0, the equation (1) is called homogeneous, otherwise it is called inhomogeneous. If a and k are matrix functions and, accordingly, φ and f are vector-valued functions, then (1) is referred to as a system of integral equations.

Systeme Singulärer Gleichungen vom Normaltyp

Mit den in Kapitel 4 sowie Abschnitt 1.5 dargelegten Methoden werden jetzt singulare Integralgleichungen auf endlichen geschlossenen Kurvensystemen mit stetigen Koeffizienten untersucht, deren Symbol endlich viele Nullstellen ganzzahliger oder gebrochener Ordnungen besitzt. Der Aufbau dieses Kapitels ist ahnlich dem vorangegangenen. Wir beginnen mit der Bereitstellung einiger Hilfsmittel. Anschliesend werden die Raume beschrieben, in denen die singularen Operatoren betrachtet werden. Das Kernstuck bilden die Satze 3.1 (3.2), 3.4 und 5.5, wo die Eigenschaften der singularen Integralgleichungen in verschiedenen Fallen der Entartung des Symbols formuliert sind. Am Schlus wird die Frage der Existenz und Konstruktion eines Regularisators und aquivalenten Regularisators des singularen Integraloperators vom nicht normalen Typ im Raum L p untersucht.

Singuläre Gleichungen in einigen abzählbar-normierten Räumen und Distributionsräumen

In diesem Kapitel wird die Theorie der diskreten Wiener -Hope -Gleichungen, der Wiener -Hopeschen Integralgleichungen, entsprechender paariger Gleichungen sowie der singularen Integralgleichungen mit stetigen Koeffizienten auf geschlossenen Kurvensystemen fur den Fall aufgebaut, das das Symbol nicht entartet. Alle wesentlichen Eigenschaften der Wiener- Hopeschen Gleichungen ergeben sich als direkte Folgerung aus den allgemeinen Satzen des vorhergehenden Kapitels. Dasselbe trifft auch fur die singulare Integralgleichung im Raum L p (1 < p < ∞) auf dem Einheitskreis zu. Durch Modifikation der entsprechenden Uberlegungen aus dem Kapitel 2 lassen sich diese Resultate auch fur singulare Integralgleichungen auf allgemeinen Kurvensystemen erhalten. Dazu sind einige zusatzliche Untersuchungen der Eigenschaften singularer Integrale notwendig. Die Theorie der singularen Integralgleichungen fur die Raume der Holder- stetigen Funktionen erhalten wir schlieslich aus der Theorie fur die Raume L p durch Anwendung eines Satzes uber die Regularitat der Losung, der am Schlus dieses Kapitels bewiesen wird.

Abstrakte Singuläre Gleichungen vom Nicht Normalen Typ

In diesem Kapitel werden die Ergebnisse der Kapitel 5 und 6 auf Systeme von diskreten Wiener -Hopf -Gleichungen, Wiener -Hopfschen Integralgleichungen, entsprechenden paarigen Gleichungen sowie singularen Integralgleichungen verallgemeinert.

Abstrakte Singuläre Gleichungen vom Normaltyp

In diesem Kapitel werden die Ergebnisse aus Kapitel 4 auf diskrete Wiener -Hopf- Gleichungen, Wiener -Hopfsche Integralgleichungen und die entsprechenden paarigen Gleichungen angewandt, deren Symbol endlich viele Nullstellen ganzzahliger und gebrochener Ordnungen besitzt.

Singular Integral Operators

Hier werden die Hauptergebnisse der Kapitel 2 und 3 auf Systeme singularer Gleichungen verallgemeinert.