Susanne Kruse

On the pricing of forward starting options in Heston's model on stochastic volatility

Abstract.We consider the problem of pricing European forward starting options in the presence of stochastic volatility. By performing a change of measure using the asset price at the time of strike determination as a numeraire, we derive a closed-form solution within Heston’s stochastic volatility framework applying distribution properties of the volatility process. In this paper we develop a new and more suitable formula for pricing forward starting options. This formula allows to cover the smile effects observed in a Black-Scholes environment, in which the extreme exposure of forward starting options to volatility changes is ignored.

On the pricing of GDP-linked financial products

This paper discusses the pricing of GDP-linked financial products. GDP-linked bonds for instance are bonds which pay a coupon tied to the changes of GDP (Gross Domestic Product): if economic growth is low, the coupon decreases while a strong economic rise leads to a higher coupon. Therefore these innovative financial instruments are able to translate changes in the business cycle and long-term prospects into changes in the issuing countrys debt service, taking into account GDP development. Against the background of a growing interest in macro-indexed financial instruments and Argentinas very recent offer to issue GDP-linked bonds, different characteristics of GDP-linked bonds are briefly discussed and a simple pricing approach for GDP-linked bonds and European options on GDP development is provided assuming a Black–Scholes type environment.

Parabolic Differential Equations with Unbounded Coefficients – A Generalization of the Parametrix Method

We consider uniformly parabolic differential equations with unbounded first- and zero-order coefficients. A fundamental solution is constructed based on the classical parametrix method of E. Levi. From this the existence and uniqueness of the corresponding Cauchy problem is derived. Our approach does not require differentiable coefficients, as is usually assumed in the unbounded case. It only requires Hölder continuous coefficients. In this respect, our new proof also extends known results. We briefly discuss applications which make essential use of this extension.

Einfache Verfahren zur Bewertung von inflationsgekoppelten Finanzprodukten

ZusammenfassungIn diesem Papier geben wir einen Überblick über inflationsgekoppelte Finanzprodukte und diskutieren deren Einsatzmöglichkeiten. Dabei liegt unser Fokus auf inflationsgebundenen Anleihen und deren Produkteigenschaften. Bei der Wahl geeigneter finanzmathematischer Modelle zur Bewertung von inflationsgebundenen Anleihen und Europäischen Optionen auf die Inflation stellen wir einen Zusammenhang zu dem makroökonomischen Konzept der Fisher-Gleichung her. Wir haben uns dabei zum Einem für die Modellierung des Inflationsindizes mittels einer geometrischen Brownschen Bewegung entschieden, wobei die Wahl des Driftterms sich aus der Fisher-Gleichung ableitet. Dieses Modell besticht durch seine Übersichtlicheit, da es unter der Annahme deterministischer nominaler und realer Zinsen zu einer Optionspreisformel vom Black-Scholes-Typ führt und direkt die Übereinstimmung des Modells mit der Annahme, dass eine inflationsgebundene Nullkuponanleihe einer Anlage zum Realzins entpricht, vor Augen führt. Zum Andern erläutern wir die Modellierung der Inflationsrate mittels eines Hull-White-Modells, das sowohl-ebenso wie die von uns vorgestellte Dynamik für den Inflationsindex-eine Deflation nicht ausschließt, als auch die Mean-Reversion-Eigenschaft der Inflationsrate in Bezug auf die Differenz zwischen den Nominal- und den Realzinsen abbildet. Für beide Ansätze erlangen wir unter der Annahme deterministischer Real- und Nominalzinsen geschlossene Lösungen für inflationsgebundene Kuponanleihen und Europäische Optionen auf die Inflation. Für die Praxis erscheint uns auf lange Sicht die Modellierung des Inflationsindizes die bessere Methode, nicht nur aufgrund des offensichtlichen Zusammenhangs von Realdiskontfaktoren exp(-∫0trR(s)ds) und den Preisen von inflationsgekoppelten Nullkuponanleihen. Die Kalibrierung beider Modelle ist in Gegenwart eines hinreichend ausgeprägten Marktes für Inflationsswaps weniger aufwendig, da sich die Realverzinsung aus der Swapkurve ermitteln lässt. Bei gegebener Nominalzinsstruktur und vorliegender Realverzinsung bleibt im Falle des Index-Modells somit die Kalibrierung des Volatilitätsparameters σ an existierenden Optionen auf die Inflation. Allerdings erweist sich dies im Angesicht öffentlich zugänglicher Information bezüglich dieser Optionspreise aufgrund mangelnder Liquidität des Marktes als schwierig. Somit bleibt eine direkte Kalibrierung der Volatilität an existierende Preise von Kuponanleihen, die eine implizite Option als Deflationsschutz des Rückzahlungsbetrags enthalten. Legt man bei der Modellierung der Inflationsrate als Hull-White-Prozess nicht die Fisher-Gleichung — und damit zwei der Parameter-zugrunde, so ist die Kalibrierung der zwei Parameter α und σ sowie der Funktion θ(t) an der Realverzinsung notwendig. Dies kann im Gegensatz zum Index-Modell an den Realdiskontfaktoren geschehen und umgeht so die momentan dürftige Marktinformation.SummaryIn this paper we give a survey on inflation-linked financial products and discuss some possibilities for their use. Based on macro economic concepts such as the Fisher equation relating inflation, real and nominal interest rates or the so-called forward rate rule, we present models for the evolution of the inflation process that allow for simple valuation of inflation linked products. In one such model the inflation index is modelled as a suitable geometric Brownian motion, a fact that leads to a Black Scholes type pricing formula for index-linked bonds and bond options. As an alternative we also present a model where the inflation rate is modelled as a Hull-White short rate process. Again this model allows for Black Scholes type valuation formulae. Some comments on calibrating both models close the paper.

Gpd-Linked Bonds as a Financing Tool for Developing Countries and Emerging Markets

The paper examines the applicability of GDP-linked bonds for the financing of developing countries and emerging markets. GDP-linked bonds are bonds of which the coupon and/or redemption payments are tied to the GDP of the issuing country. The study encompasses a detailed empirical analysis of their pricing behaviour, the pricing sensitivities to changes in GDP, and of their behaviour in a portfolio context is conducted. A survey amongst potential investors as well as issuing-side capital market participants assesses the prospects of success of this new type of bond. Finally, the usefulness of a partial public guarantee of payments is examined. The paper provides evidence under which circumstances, for which investors and for which countries GDP-linked bonds might be an appropriate investment vehicle.

Einfache Verfahren zur Bewertung von inflationsgekoppelten Finanzprodukten@@@Simple valuation methods for inflation-linked financial products

ZusammenfassungIn diesem Papier geben wir einen Überblick über inflationsgekoppelte Finanzprodukte und diskutieren deren Einsatzmöglichkeiten. Dabei liegt unser Fokus auf inflationsgebundenen Anleihen und deren Produkteigenschaften. Bei der Wahl geeigneter finanzmathematischer Modelle zur Bewertung von inflationsgebundenen Anleihen und Europäischen Optionen auf die Inflation stellen wir einen Zusammenhang zu dem makroökonomischen Konzept der Fisher-Gleichung her. Wir haben uns dabei zum Einem für die Modellierung des Inflationsindizes mittels einer geometrischen Brownschen Bewegung entschieden, wobei die Wahl des Driftterms sich aus der Fisher-Gleichung ableitet. Dieses Modell besticht durch seine Übersichtlicheit, da es unter der Annahme deterministischer nominaler und realer Zinsen zu einer Optionspreisformel vom Black-Scholes-Typ führt und direkt die Übereinstimmung des Modells mit der Annahme, dass eine inflationsgebundene Nullkuponanleihe einer Anlage zum Realzins entpricht, vor Augen führt. Zum Andern erläutern wir die Modellierung der Inflationsrate mittels eines Hull-White-Modells, das sowohl — ebenso wie die von uns vorgestellte Dynamik für den Inflationsindex — eine Deflation nicht ausschließt, als auch die Mean-Reversion-Eigenschaft der Inflationsrate in Bezug auf die Differenz zwischen den Nominal- und den Realzinsen abbildet. Für beide Ansätze erlangen wir unter der Annahme deterministischer Real- und Nominalzinsen geschlossene Lösungen für inflationsgebundene Kuponanleihen und Europäische Optionen auf die Inflation. Für die Praxis erscheint uns auf lange Sicht die Modellierung des Inflationsindizes die bessere Methode, nicht nur aufgrund des offensichtlichen Zusammenhangs von Realdiskontfaktoren exp(− ∫0trR(s)ds) und den Preisen von inflationsgekoppelten Nullkuponanleihen. Die Kalibrierung beider Modelle ist in Gegenwart eines hinreichend ausgeprägten Marktes für Inflationsswaps weniger aufwendig, da sich die Realverzinsung aus der Swapkurve ermitteln lässt. Bei gegebener Nominalzinsstruktur und vorliegender Realverzinsung bleibt im Falle des Index-Modells somit die Kalibrierung des Volatilitätsparametersσ an existierenden Optionen auf die Inflation. Allerdings erweist sich dies im Angesicht öffentlich zugänglicher Information bezüglich dieser Optionspreise aufgrund mangelnder Liquidität des Marktes als schwierig. Somit bleibt eine direkte Kalibrierung der Volatilität an existierende Preise von Kuponanleihen, die eine implizite Option als Deflationsschutz des Rückzahlungsbetrags enthalten. Legt man bei der Modellierung der Inflationsrate als Hull-White-Prozess nicht die Fisher-Gleichung — und damit zwei der Parameter — zugrunde, so ist die Kalibrierung der zwei Parameterα undσ sowie der Funktionϑ(t) an der Realverzinsung notwendig. Dies kann im Gegensatz zum Index-Modell an den Realdiskontfaktoren geschehen und umgeht so die momentan dürftige Marktinformation.SummaryIn this paper we give a survey on inflation-linked financial products and discuss some possibilities for their use. Based on macro economic concepts such as the Fisher equation relating inflation, real and nominal interest rates or the so-called forward rate rule, we present models for the evolution of the inflation process that allow for simple valuation of inflation linked products. In one such model the inflation index is modelled as a suitable geometric Brownian motion, a fact that leads to a Black Scholes type pricing formula for index-linked bonds and bond options. As an alternative we also present a model where the inflation rate is modelled as a Hull-White short rate process. Again this model allows for Black Scholes type valuation formulae. Some comments on calibrating both models close the paper.